Question

Доведите методом индукции1+3+5+...+(2n-1)=n^2 , n є N​

Answer 1

Ответ:

ч.т.д

Объяснение:

Ответ во вложении

Answer 2

Ответ:

Объяснение: Убеждаемся, что при n=1 верно. 1=1*1

Пусть это верно для n=К. Тогда для n=К+1 имеем:

сумма изменится на 2К+1. К^2+2К+1=(К+1)^2 , что и доказывает утверждение.

Answer 3

Доказательство методом математической индукции:

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1, формула принимает вид 1 = 1^2, что является верным утверждением. Таким образом, базовый случай проверен.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого k, т.е. 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2.

Шаг 3: Доказательство для (k + 1). Теперь докажем, что утверждение верно для (k + 1). Нам нужно доказать, что 1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2.

Используя предположение индукции, мы имеем: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2.

Добавим (2(k + 1) - 1) к обеим сторонам: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = k^2 + (2(k + 1) - 1).

Упрощаем правую часть: k^2 + (2(k + 1) - 1) = k^2 + 2k + 2 - 1 = k^2 + 2k + 1.

Мы знаем, что (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1, поэтому: 1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2.

Таким образом, утверждение верно и для (k + 1).

Шаг 4: Заключение. Поскольку базовый случай проверен, а также утверждение доказано для произвольного k, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, с использованием метода индукции мы доказали, что 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2 для n ∈ N.