Question

Найти производную функции, которая задана неявно xy=arcsin(x+y)​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Z=x-y+arcsinxy  dz/dx=1+y/√(1-x²y²)=A

                          dz/dy=-1+x·/√(1-x²y²)=B

Полный дифференциал dz=Adx+Bdy

Answer 2

Для нахождения производной функции, заданной неявно, воспользуемся правилом дифференцирования неявных функций.

Исходное уравнение: xy = arcsin(x + y)

Дифференцируем обе части уравнения по переменной x:

d(xy)/dx = d(arcsin(x + y))/dx

Применим правило производной произведения на левой стороне:

x(dy/dx) + y = d(arcsin(x + y))/dx

Теперь рассмотрим правую сторону уравнения. Производная функции arcsin(u) равна 1/√(1 - u^2) * du/dx. В данном случае u = x + y, поэтому:

d(arcsin(x + y))/dx = 1/√(1 - (x + y)^2) * d(x + y)/dx

Производная (x + y) по x равна 1, поэтому:

d(arcsin(x + y))/dx = 1/√(1 - (x + y)^2)

Подставляем это значение в исходное уравнение:

x(dy/dx) + y = 1/√(1 - (x + y)^2)

Теперь можно выразить dy/dx:

x(dy/dx) = 1/√(1 - (x + y)^2) - y

dy/dx = (1/√(1 - (x + y)^2) - y) / x

Таким образом, производная функции xy = arcsin(x + y) равна:

dy/dx = (1/√(1 - (x + y)^2) - y) / x