Question

Вычислить: а) arcsin √2/2 ; б) arcsin (-1) ; в) arcсos 1/2 ; г) arcсos (- √3/2); д) arcсos (sin 2π/3); е) arcсos (-1) - arcсos 1/2 - 3 arcсos (- √3/2 ); ж) cos (arcsin ( - √2/2 )) ; з) arcsin (- √2/2 ) + arcsin 1 – arcsin √3/2 ; и) cos ( 1/2 arcsin 1 + 2arcсos √2/2 ). С объяснением

Answer 1

а)

$arcsin( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) = \frac{\pi}{4}$

б)

$arcsin( - 1) = - \frac{\pi}{2}$

в)

$arccos( \frac{1}{2} ) = \frac{\pi}{3}$

г)

$arccos( - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = \frac{5\pi}{6}$

д)

$arccos( \sin( \frac{2\pi}{3} ) ) = \\ = arccos( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = \frac{\pi}{6}$

е)

$arccos( - 1) - arccos( \frac{1}{2}) - 3arccos ( - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = \\ = \pi - \frac{\pi}{3} - 3 \times \frac{5\pi}{6} = \\ = \frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi - 15\pi}{6} = \\ = - \frac{11\pi}{6}$

ж)

$\cos(arcsin ( - \frac{ \sqrt{2} }{2} )) = \cos( - \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

з)

$arcsin( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) + arcsin1 - arcsin( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = \\ = - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \\ = \frac{ - 3\pi + 2\pi}{12} = - \frac{\pi}{12}$

и)

$\cos( \frac{1}{2} arcsin1 + 2arccos( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) ) = \cos( \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} + 2 \times \frac{\pi}{4} ) = \\ = \cos( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} ) = \cos( \frac{3\pi}{4} ) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Answer 2

а) Для вычисления arcsin (√2/2) можно воспользоваться свойством обратной функции синуса. Так как sin(π/4) = √2/2, то arcsin (√2/2) = π/4.

б) Функция arcsin(x) возвращает угол, чей синус равен x. Так как sin(-π/2) = -1, то arcsin(-1) = -π/2.

в) Функция arccos(x) возвращает угол, чей косинус равен x. Так как cos(π/3) = 1/2, то arccos(1/2) = π/3.

г) Функция arccos(x) возвращает угол, чей косинус равен x. Так как cos(π/6) = √3/2, то arccos(-√3/2) = π/6.

д) Функция arccos(x) возвращает угол, чей косинус равен x. Здесь требуется вычислить arccos(sin(2π/3)). Заметим, что sin(2π/3) = √3/2. Так как cos(π/6) = √3/2, то arccos(sin(2π/3)) = π/6.

е) В этом случае нам нужно вычислить значение выражения arcсos (-1) - arcсos (1/2) - 3 arcсos (-√3/2).

arcсos(-1) = π, arcсos(1/2) = π/3, и arcсos(-√3/2) = π/6 (как было указано в предыдущих вычислениях).

Тогда выражение примет вид: π - π/3 - 3(π/6) = π - π/3 - π/2 = 6π/6 - 2π/6 - 3π/6 = π/6.

ж) Мы хотим вычислить cos(arcsin(-√2/2)). Известно, что sin(-π/4) = -√2/2. Так как cos(-π/4) = √2/2, то cos(arcsin(-√2/2)) = √2/2.

з) Нам нужно вычислить значение выражения arcsin(-√2/2) + arcsin(1) - arcsin(√3/2).

arcsin(-√2/2) = -π/4 (так как sin(-π/4) = -√2/2). arcsin(1) = π/2 (так как sin(π/2) = 1). arcsin(√3/2) = π/3 (так как sin(π/3) = √3/2).

Тогда выражение примет вид: -π/4 + π/2 - π/3 = -3π/12 + 6π/12 - 4π/12 = -π/12.

и) Нам нужно вычислить значение вы