Question

Найти множество значений функции: y=sin2x*cos2x+2

Answer 1

$y=\sin2x\cos2x+2=0.5\sin4x+2$

Множество значений функции sin4x — [-1;1]. Оценим в виде двойного неравенства

$-1\leqslant\sin 4x\leqslant1~~~\bigg|\cdot 0.5\\ \\ -0.5\leqslant0.5\sin4x\leqslant0.5~~~~\bigg|+2\\ \\ 1.5\leqslant0.5\sin4x+2\leqslant2.5$

Множество значений данной функции: $E(y)=[1.5;2.5]$

Answer 2

Для нахождения множества значений функции y = sin(2x) * cos(2x) + 2, мы можем проанализировать возможные значения произведения sin(2x) * cos(2x) и добавить 2.

Произведение sin(2x) * cos(2x) является результатом умножения синуса и косинуса одного и того же угла. Поскольку sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x), мы можем переписать выражение как 2 * sin(x) * cos(x) * cos(2x).

Теперь мы имеем два множителя: sin(x) и cos(x) * cos(2x). Обратите внимание, что sin(x) принимает значения в диапазоне [-1, 1], а cos(x) * cos(2x) также ограничен диапазоном [-1, 1].

Таким образом, произведение sin(2x) * cos(2x) принимает значения в диапазоне [-1, 1] * [-1, 1], то есть [-1, 1].

Добавление 2 к значениям произведения приведет к смещению этого диапазона вверх на 2 единицы, т.е. новый диапазон будет [1, 3].

Таким образом, множество значений функции y = sin(2x) * cos(2x) + 2 составляет все числа в интервале [1, 3].