Question

При делении многочлена P(X)=X³-aX²+bX-1 поочередно на Q1(X)=X, Q2(X)=X+1, Q3(X)=X-2 получается один и тот же остаток. Найдите остаток от деления P(X) на Q(X)= X²-3 ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА , ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!!

Answer 1

По теореме Безу

P₁(0) = 0³ - a · 0² + b · 0 - 1 = -1

P₂(-1) = (-1)³ - a · (-1)² + b · (-1) - 1 = -1 - a - b - 1 = -a - b - 2

P₃(2) = 2³ - a · 2² + b · 2 - 1 = 8 - 4a + 2b - 1 = 2b - 4a + 7

Составим систему уравнений, по условию

$\displaystyle\left \{ {{-a-b-2=-1} \atop {2b-4a+7=-1}} \right.~~~\Rightarrow~~~~\left \{ {{a+b=-1} \atop {b-2a=-4}} \right.$

От первого уравнения отнимем второе уравнение, получим

a + b - b + 2a = -1 + 4

3a = 3

a = 1

b = -1 - a = -2

Таким образом, $P(x)=x^3-x^2-2x-1$. Поделив в столбик многочлен P(x) на двучлен Q(x) = x² - 4, получим остаток $x-4$

Ответ: x - 4.

Answer 2

Чтобы найти остаток от деления многочлена P(X) на Q(X) = X² - 3, мы можем воспользоваться методом полиномиального деления.

Известно, что остаток от деления P(X) на Q1(X) = X равен тому же остатку, что и от деления P(X) на Q2(X) = X + 1. Аналогично, остаток от деления P(X) на Q2(X) равен остатку от деления P(X) на Q3(X) = X - 2.

Пусть остаток от деления P(X) на Q(X) = X² - 3 равен R(X). Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:

P(X) ≡ R(X) (mod X) P(X) ≡ R(X) (mod X + 1) P(X) ≡ R(X) (mod X - 2)

Заметим, что Q(X) = X² - 3 = (X - 2)(X + 1). Таким образом, Q(X) имеет общий множитель с Q3(X) = X - 2. Поэтому, остаток R(X) также будет иметь общий множитель с Q3(X).

Поскольку остаток от деления P(X) на Q3(X) равен R(X), и R(X) имеет общий множитель с Q3(X), мы можем предположить, что R(X) = c(Q3(X)), где c(X) - некоторый многочлен.

Таким образом, у нас есть:

P(X) ≡ c(X)(X - 2) (mod X) P(X) ≡ c(X)(X - 2) (mod X + 1)

Теперь подставим X = 2 и X = -1 в оба уравнения и получим следующую систему уравнений:

P(2) ≡ c(2)(2 - 2) ≡ 0 (mod 2) P(-1) ≡ c(-1)(-1 - 2) ≡ 0 (mod -1)

Из этих уравнений следует, что оба множителя c(2) и c(-1) должны делиться на соответствующие числа. Наименьшее общее кратное для 2 и -1 равно 2, поэтому:

c(X) ≡ 0 (mod X - 2) c(X) ≡ 0 (mod X + 1)

Теперь мы можем записать:

c(X) ≡ (X - 2)(X + 1)d(X)

где d(X) - некоторый другой многочлен.

Итак, мы получили, что остаток R(X) от деления P(X) на Q(X) = X² - 3 может быть записан в виде:

R(X) = c(X)(X - 2) = (X - 2)(X + 1)d(X)(X - 2) = (X - 2)²(X + 1)d(X)

Таким образом, остаток от деления многочлена P(X) на Q(X) = X² - 3 равен (X - 2)²(X + 1)d(X).