Question

В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Извлекают 2. Случайная величина х - число вынутых шаров. Составить закон распределения. Найти дисперсию.

Answer 1

1) Вероятность того, что среди двух извлеченных шаров не будет белых, равна $P=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}=0{,}3.$

2) Вероятность того, что среди двух отобранных шаров будет 1 белый и 1 черный, равна $P=\dfrac{C^1_2\cdot C^1_3}{C^2_{5}}=\dfrac{2\cdot 3}{10}=\dfrac{6}{10}=0{,}6$

3) Вероятность того, что среди отобранных двух шаров будет два белых шара, равна  $P=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Закон распределения случайной величины X:

Xi      1         2         3

Pi     0,3      0,6      0,1

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=1\cdot 0{,}3+2\cdot0{,}6+3\cdot 0{,}1=1{,}8$

Дисперсия:

$DX=\displaystyle \sum_ix_i^2p_i-(MX)^2=1^2\cdot0{,}3+2^2\cdot0{,}6+3^2\cdot0{,}1-1{,}8^2=0{,}36$

Ответ: 0,36.

Answer 2

Чтобы составить закон распределения случайной величины X (число вынутых черных шаров), нужно рассмотреть все возможные комбинации извлечения шаров.

Пусть событие A1 соответствует извлечению черного шара, а событие A2 - извлечению белого шара.

Возможные комбинации извлечения 2 шаров:

1. A1, A1 (2 черных шара извлечены)
2. A1, A2 (1 черный и 1 белый шары извлечены)
3. A2, A1 (1 черный и 1 белый шары извлечены)
4. A2, A2 (2 белых шара извлечены)

Теперь рассчитаем вероятность каждого из этих событий:

1. Вероятность события A1 (извлечение черного шара): P(A1) = (количество черных шаров) / (общее количество шаров) = 3 / 5

2. Вероятность события A2 (извлечение белого шара): P(A2) = (количество белых шаров) / (общее количество шаров) = 2 / 5

Теперь рассчитаем вероятности каждой из возможных комбинаций:

1. P(A1, A1) = P(A1) * P(A1) = (3/5) * (3/5) = 9/25
2. P(A1, A2) = P(A1) * P(A2) = (3/5) * (2/5) = 6/25
3. P(A2, A1) = P(A2) * P(A1) = (2/5) * (3/5) = 6/25
4. P(A2, A2) = P(A2) * P(A2) = (2/5) * (2/5) = 4/25

Теперь составим закон распределения случайной величины X:

X (число черных шаров)	P(X)
0	4/25
1	12/25
2	9/25

Чтобы найти дисперсию случайной величины X, воспользуемся следующей формулой:

Дисперсия (Var) = Σ [P(X) * (X - E(X))^2],

где Σ - сумма по всем значениям X, P(X) - вероятность значения X, E(X) - математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X.

Математическое ожидание E(X) можно рассчитать как:

E(X) = Σ [P(X) * X],

где Σ - сумма по всем значениям X, P(X) - вероятность значения X, X - значение случайной величины.

Теперь рассчитаем математическое ожидание и дисперсию:

E(X) = (0 * 4/25) + (1 * 12/25) + (2 * 9/25) = 0 + 12/25 + 18/25 = 30/25 = 6/5

Var(X) = (0 - 6/5)^2 * 4/25 + (1 - 6/5)^2 * 12/25 + (2 - 6/5)^2 * 9/25 = (36/25) * (4/25) + (1/25) * (12/25) + (4/25) * (9/25) = 144/625 + 12/625 + 36/625 = 192/625

Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 192/625.