Question

В урне 3 белых и 3 чёрных шара. Без возвращения из урны извлекают шары до тех пор, пока не появится 2 белых шара X - число извлеченных шаров. Найти: 1) Ряд распределения X; 2) Функцию распределения F(x);

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Очевидно, что случайная величина X может принимать значения 2, 3, 4, 5. Найдём соответствующие вероятности:

P2=3/6*2/5=0,2;

P3=3/6*3/5*2/4+3/6*3/5*2/4=0,3;

P4=3/6*2/5*3/4*2/3+3/6*3/5*2/4*2/3+3/6*3/5*2/4*2/3=0,3;

P5=3/6*2/5*1/4+3/6*3/5*2/4*1/3+3/6*2/5*3/4*1/3+3/6*3/5*2/4*1/3=0,2.

Проверка: P2+P3+P4+P5=1, так что вероятности найдены верно.

Составляем ряд распределения случайной величины X:

Xi      2       3       4       5

Pi     0,2    0,3   0,3   0,2

Отсюда следует, что функция распределения F(x) задаётся формулами:

F(2)=0, F(3)=0,2; F(4)=0,2+0,3=0,5; F(5)=0,2+0,3+0,3=0,8, F(6)=0,2+0,3+0,3+0,2=1.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать метод комбинаторики и вероятности. Поскольку шары извлекаются без возвращения, вероятность каждого извлечения будет меняться.

1. Ряд распределения X: Давайте рассмотрим возможные случаи для значений X:

• X = 2: В этом случае мы сразу же извлекаем 2 белых шара. Вероятность этого равна (3/6) * (2/5) = 1/5.
• X = 3: В этом случае первый шар, который мы извлекаем, должен быть черным, а оставшиеся два шара - белыми. Вероятность этого равна (3/6) * (3/5) * (2/4) = 9/40.
• X = 4: В этом случае первые два шара, которые мы извлекаем, должны быть черными, а оставшиеся два шара - белыми. Вероятность этого равна (3/6) * (2/5) * (2/4) * (1/3) = 1/20.
• X = 5: В этом случае первые три шара, которые мы извлекаем, должны быть черными, а оставшиеся два шара - белыми. Вероятность этого равна (3/6) * (2/5) * (1/4) * (2/3) * (1/2) = 1/60.
• X = 6: В этом случае первые четыре шара, которые мы извлекаем, должны быть черными, а последний шар - белым. Вероятность этого равна (3/6) * (2/5) * (1/4) * (1/3) * (1/2) * (1/1) = 1/120.

Таким образом, ряд распределения X будет выглядеть следующим образом: X: 2 3 4 5 6 P(X): 1/5 9/40 1/20 1/60 1/120

2. Функция распределения F(x): Функция распределения F(x) показывает вероятность получить значение X меньше или равное x.

F(x) = P(X ≤ x)

Для каждого значения x, мы должны сложить вероятности P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4), ..., P(X = x) для получения функции распределения.

F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 2) = 1/5 F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 2) + P(X = 3) = 1/5 + 9/40 = 11/40 F(4) = P(X ≤ 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1/5 + 9/40 + 1/20 = 13/40 F(5) = P(X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1/5 + 9/40 + 1/20 + 1/60 = 17/60 F(6) = P(X ≤ 6) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 1/5 + 9/40 + 1/20 + 1/60 + 1/120 = 19/60

Таким образом, функция распределения F(x) будет выглядеть следующим образом: F(x): 2/5 11/40 13/40 17/60 19/60