Question

Решите уравненияа) 2sin^2x+√2 sin(x+pi/4)=cosxб)2cos^2x+1/2sin2x-2sin^2x=0​

Answer 1

Ответ:

а) x=pi*k  или  x=5pi/6+2pi*k или  x=-pi/6+2*pi*k, где k -любое целое

б) x=0,5*(arctg(4)+pi*k),  где  k -любое целое

Объяснение:

а) 2sin^2x+√2 sin(x+pi/4)=cosx

приводим к виду:

2*sin^2(x)+sin(x)+cos(x)=cos(x)

2*sin^2(x)+sin(x)=0

1) sin(x)=0 2)sin(x)=-1/2

x=pi*k  или  x=5pi/6+2pi*k или  x=-pi/6+2*pi*k, где k -любое целое

б)2cos^2x+1/2sin2x-2sin^2x=0​

2*cos(2x)+1/2sin(2x)=0

tg(2x)=-4

2x=arctg(4)+pi*k

x=0,5*(arctg(4)+pi*k),  где  k -любое целое

Answer 2

а) Для решения данного уравнения, преобразуем его поэтапно:

2sin^2(x) + √2sin(x + π/4) = cos(x)

Сначала заметим, что sin(x + π/4) = sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4) = (1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x).

Подставим это значение обратно в уравнение:

2sin^2(x) + √2[(1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x)] = cos(x)

Упростим:

2sin^2(x) + sin(x) + cos(x) = cos(x)

Теперь выразим sin^2(x) через cos(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2(1 - cos^2(x)) + sin(x) + cos(x) = cos(x)

2 - 2cos^2(x) + sin(x) + cos(x) = cos(x)

2 - 2cos^2(x) + sin(x) = 0

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

-2cos^2(x) + sin(x) + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0:

2cos^2(x) - sin(x) - 2 = 0

2cos^2(x) - sin(x) = 2

2cos^2(x) = sin(x) + 2

cos^2(x) = (sin(x) + 2) / 2

cos(x) = ±√[(sin(x) + 2) / 2]

Теперь мы получили значение cos(x). Для нахождения конкретных решений в пределах заданного диапазона (обычно [0, 2π]), можно использовать тригонометрическую окружность и таблицы значений, или же численные методы для приближенного решения.

б) Для решения данного уравнения, преобразуем его:

2cos^2(x) + 1/2sin(2x) - 2sin^2(x) = 0

Удвоим угол внутри синуса и воспользуемся тождеством sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

2cos^2(x) + sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = 0

Теперь заменим cos^2(x) через 1 - sin^2(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2(1 - sin^2(x)) + sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = 0

2 - 2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = 0

4 - 4sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

2(2 - 2sin^2(x) + sin(x)cos(x)) = 0

2 - 2sin^2(x) + sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0:

2sin^2(x) - sin(x)cos(x) + 2 = 0

После нахождения решений sin(x), мы можем использовать соответствующие тригонометрические тождества для определения значений cos(x).