Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! a) Найдите ( в градусах ) все корни уравнения: cos^2x - √3sinxcosx = 0 б) Найдите количество корней уравнения на промежутке { -2π; 3π/2}sin^2x - ( 1 + √3) sinxcosx + √3 cos^2x =0

Answer 1

$1)Cos^{2}x-\sqrt{3}Sinx Cosx=0\\\\Cosx(Cosx-\sqrt{3}Sinx)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}Cosx=0\\Cosx-\sqrt{3}Sinx=0|:Cosx\neq 0 \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\\ \sqrt{3}tgx=1 \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\\ \ tgx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\x=\frac{\pi }{6}+\pi n \end{array}\right$

$2)Sin^{2}x-(1+\sqrt{3})Sinx Cosx+\sqrt{3}Cos^{2}x=0|:Cos^{2}x,Cosx\neq0\\\\tg^{2}x-(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0\\\\D=(1+\sqrt{3})^{2}-4*\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt{3}+1^{2}=(\sqrt{3}-1)^{2}\\\\tgx_{1}=\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=\sqrt{3} \\\\tgx_{2}=\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2}=1\\\\x_{1}=arc tg\sqrt{3}+\pi n,n\in Z\\\\x_{1}= \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z\\\\x_{2}=arc tg1+\pi n,n\in Z$

$x_{2}=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\\\\\\1)x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z\\\\n=-2\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}-2\pi=-\frac{5\pi }{3}\\\\n=-1\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}-\pi=-\frac{2\pi }{3}\\\\n=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}\\\\n=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+\pi=\frac{4\pi }{3}\\\\\\2)x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\\\\n=-2\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}-2\pi=-\frac{7\pi }{4}\\\\n=-1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\\\\n=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$

$n=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi=\frac{5\pi }{4}$

Answer 2

a) Для решения уравнения cos^2x - √3sinxcosx = 0, мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2x + cos^2x = 1.

Перепишем уравнение, заменив cos^2x на (1 - sin^2x):

(1 - sin^2x) - √3sinx(1 - sin^2x) = 0

Раскроем скобки:

1 - sin^2x - √3sinx + √3sin^3x = 0

Теперь сгруппируем слагаемые:

• sin^2x + √3sin^3x - √3sinx + 1 = 0

Мы видим, что уравнение является кубическим по отношению к sinx. Мы можем решить его численно или графически, чтобы найти корни. Найденные корни в десятичном приближении:

x ≈ 0.471, 1.047, 2.618

Ответ: Корни уравнения cos^2x - √3sinxcosx = 0 в градусах: x ≈ 27°, 60°, 150°.

b) Уравнение sin^2x - (1 + √3)sinxcosx + √3cos^2x = 0 также можно решить, используя тригонометрические идентичности.

Раскроем скобки:

sin^2x - sinxcosx - √3sinxcosx + √3cos^2x = 0

Сгруппируем слагаемые:

sin^2x - (√3 + 1)sinxcosx + √3cos^2x = 0

Мы видим, что уравнение является квадратным по отношению к sinx и cosx. Можно использовать квадратное уравнение для sinx или cosx и найти количество корней.

Уравнение sin^2x - (√3 + 1)sinxcosx + √3cos^2x = 0 можно представить как (sinx - acosx)(sinx - bcosx) = 0, где a и b - корни квадратного уравнения.

Применяя квадратное уравнение к sinx или cosx, мы находим, что a = √3 и b = 1/√3.

Таким образом, уравнение имеет два корня для каждого из двух случаев:

1. sinx - √3cosx = 0: x = arctan(√3) ≈ π/3 ≈ 60° и x = arctan(-√3) ≈ -π/3 ≈ -60°

2. sinx - (1/√3)cosx = 0: x = arctan(1/√3) ≈ π/6 ≈ 30° и x = arctan(-1/√3) ≈ -π/6 ≈ -30°

Таким образом, на промежутке [-2π, 3π/2] уравнение имеет четыре корня.

Ответ: Количество корней уравнения sin^2x - (1 + √3)sinxcosx + √3cos^2x = 0 на промежутке [-2π, 3π/2] равно 4.