Question

Помогите! Обьясните метод додавання и подстановки уравнений с двумя змiнними! И наведите несколько примеров и с тем и с другим способом!

Answer 1

Давайте разбираться.

1) Метод сложения. В этом методе подразумевается избавления от одной переменной.

1.1) Рассмотрим простейшую систему:

$\displaystyle\left \{ {{y-2x=2} \atop {y+2x=2}} \right.$

Здесь можно заметить, что если сложить -2х и 2х, то получится 0. Поэтому сложим первое уравнение со вторым и получим:

$2y+0=4\\2y=4\\y=2$

Вот мы нашли одну неизвестную и чтобы найти вторую, надо подставить "у" в любое из двух уравнений, возьмем например первое:

$y-2x=2\\2-2x=2\\2x=0\\x=0$

Ответ записывается так: (x; y)=(0; 2)

Ответ: (0; 2).

1.2) Тут приведу чуть-чуть сложнее систему:

$\displaystyle \left \{ {{2y+3x=2} \atop {3y+2x=3}} \right.$

Как видно, если сложить оба уравнения, избавиться от переменной не получится, поэтому надо сделать так, чтобы хоть одна переменная при сложении пропала. Для это мы должны домножить оба уравнения на такие числа, чтобы в результате мы смогли избавиться от переменной. Например мы хотим убрать "у":

$\displaystyle \left \{ {{2y+3x=2} \;\;|\times3 \atop {3y+2x=3}\;\;|\times(-2)} \right.\\\left \{ {{6y+9x=6} \atop {-6y-4x=-6}} \right.$

Вот теперь-то видно, что при сложении 6у и -6у получится 0.

Складываем оба уравнения:

$\displaystyle \left \{ {{6y+9x=6} \atop {-6y-4x=-6}} \right.\\0+5x=0\\5x=0\\x=0$

Ну и теперь подставляем "х" в любое уравнение, например в первое:

$2y+3x=2\\2y+3\times0=2\\2y=2\\y=1$

Ответ: (0; 1).

2) Метод подстановки. В этом методе мы будем выражать из одного уравнения переменную и подставлять во второе уравнение:

2.1) Рассмотрим систему, в которой не будет дробей:

$\displaystyle\left \{ {{2y-x=4} \atop {y+2x=2}} \right.$

Тут мы выразим "у" из второго уравнения и подставим этот "у" в первое уравнение:

$\displaystyle\left \{ {{2y-x=4} \atop {y+2x=2}} \right.\\\left \{ {{2y-x=4} \atop {y=2-2x}} \right. \\2(2-2x)-x=4$

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

$2(2-2x)-x=4\\4-4x-x=4\\-5x=0\\x=0$

"х" найден и теперь, как в первом методе, подставляем в любое из двух уравнений, например в первое:

$2y-x=4\\2y-0=4\\2y=4\\y=2$

Ответ: (0; 2)

2.2) Сложнее система. Тут мы будем работать с дробями:

$\displaystyle \left \{ {{6y+4x=12} \atop {3y-2x=6}} \right.$

Выразим "x" из второго уравнение и подставим в первое:

$\displaystyle \left \{ {{6y+4x=12} \atop {3y-2x=6}} \right.\\\left \{ {{6y+4x=12} \atop {x=\frac{3y-6}{2} }} \right. \\6y+4\bigg(\frac{3y-6}{2}\bigg) =12$

Решаем линейное уравнение:

$\displaystyle 6y+4\bigg(\frac{3y-6}{2}\bigg) =12\\6y+\frac{4(3y-6)}{2} =12\\6y+2(3y-6)=12\\6y+6y-12=12\\12y=24\\y=2$

Подставляем "у" в любое уравнение, например во второе:

$3y-2x=6\\3\times2-2x=6\\6-2x=6\\-2x=0\\x=0$

Ответ: (0; 2)

Очевидно, это не все случаи, которые могут быть, но это самые распространенные, когда начинают проходить решение систем.

Answer 2

Метод додавання и подстановки - это метод решения систем уравнений с двумя переменными. Он состоит из двух шагов: сначала одно из уравнений преобразуется таким образом, чтобы одна из переменных стала явным образом выражена через другую. Затем это выражение подставляется в другое уравнение, тем самым упрощая систему до одного уравнения с одной переменной.

Вот пошаговая инструкция для метода додавання и подстановки:

Шаг 1: Преобразование одного уравнения Выберите одно из уравнений и преобразуйте его так, чтобы одна из переменных была явно выражена через другую.

Шаг 2: Подстановка Вставьте полученное выражение в другое уравнение, заменив переменную на это выражение.

Шаг 3: Решение уравнения с одной переменной Решите полученное уравнение с одной переменной.

Шаг 4: Нахождение второй переменной Подставьте найденное значение первой переменной в любое из исходных уравнений и найдите вторую переменную.

Примеры:

Пример 1: Решим систему уравнений: Уравнение 1: x + y = 7 Уравнение 2: 2x - y = 1

Шаг 1: Преобразование одного уравнения Выберем Уравнение 1: x + y = 7 Выразим x через y: x = 7 - y

Шаг 2: Подстановка Подставим выражение x = 7 - y в Уравнение 2: 2(7 - y) - y = 1

Шаг 3: Решение уравнения с одной переменной Упростим уравнение: 14 - 2y - y = 1 Решим уравнение: -3y = -13, y = 13/3

Шаг 4: Нахождение второй переменной Подставим значение y = 13/3 в Уравнение 1: x + 13/3 = 7 Упростим уравнение: x = 7 - 13/3, x = 2/3

Таким образом, решение системы уравнений равно x = 2/3 и y = 13/3.

Пример 2: Решим систему уравнений: Уравнение 1: 3x + 2y = 12 Уравнение 2: 4x - y = 5

Шаг 1: Преобразование одного уравнения Выберем Уравнение 2: 4x - y = 5 Выразим y через x: y = 4x - 5

Шаг 2: Подстановка Подставим выражение y = 4x - 5 в Уравнение 1: 3x + 2(4x - 5) = 12

Шаг 3: Решение уравнения с одной переменной Упростим уравнение: 3x + 8x - 10 = 12 Решим уравнение: 11x = 22, x = 2

Шаг 4: Нахождение второй переменной Подставим значение x = 2 в Уравнение 2: 4(2) - y = 5 Упростим уравнение: 8 - y = 5, y = 3

Таким образом, решение системы уравнений равно x = 2 и y = 3.

Это были примеры решения систем уравнений с помощью метода додавания и подстановки.