Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции:y=x³ + 3x² - 9x + 2 на отрезке [-2; 2].

Answer 1

Ответ: Ymax=24, Ymin=-3.

Объяснение:

Находим производную y'=3*x²+6*x-9=3*(x²+2*x-3)=3*(x-1)*(x+3). Приравнивая её к нулю, находим критические точки x1=1 и x2=-3. Если x<-3, то y'>0, поэтому на интервале  (-∞;-3) функция возрастает. Если -3<x<1, то y'<0, поэтому на интервале (-3;1) функция убывает. Наконец, если x>1, то y'>0, поэтому на интервале (1;∞) функция возрастает. Отсюда следует, что точка x=-3 является максимума, а точка x=1 - точкой минимума. Наибольшее значение функции Ymax=y(-3)=29, а наименьшее Ymin=y(1)=-3. Однако так как точка x=-3 не принадлежит интервалу [-2;2], то её не рассматриваем. Сравниваем значения на концах интервала: y(-2)=24, y(2)=4. Поэтому  Ymax=y(-2)=24, Ymin=y(1)=-3.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [-2, 2], нужно проанализировать значения функции на его концах и в критических точках внутри отрезка.

Шаги для решения:

1. Вычислим значения функции в концах отрезка x = -2 и x = 2.
2. Найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует внутри отрезка [-2, 2].
3. Вычислим значения функции в найденных критических точках.
4. Сравним значения функции на концах отрезка и в критических точках, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Вычислим значения функции в концах отрезка: Для x = -2: y = (-2)³ + 3(-2)² - 9(-2) + 2 = -8 + 12 + 18 + 2 = 24 Для x = 2: y = 2³ + 3(2)² - 9(2) + 2 = 8 + 12 - 18 + 2 = 4

Шаг 2: Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: y = x³ + 3x² - 9x + 2 y' = 3x² + 6x - 9

Приравняем y' к нулю и решим уравнение: 3x² + 6x - 9 = 0 x² + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = -3 и x = 1.

Шаг 3: Вычислим значения функции в найденных критических точках: Для x = -3: y = (-3)³ + 3(-3)² - 9(-3) + 2 = -27 + 27 + 27 + 2 = 29 Для x = 1: y = 1³ + 3(1)² - 9(1) + 2 = 1 + 3 - 9 + 2 = -3

Шаг 4: Сравним значения функции на концах отрезка и в критических точках, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение: Наибольшее значение: y = 29 (в точке x = -3) Наименьшее значение: y = -3 (в точке x = 1)

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2, 2] равно 29, а наименьшее значение равно -3.