Question

Урна А має 3 чорних кулі та 6 білих кульок. Урна В має 40 чорних кульок і 40 білих куль. Урна С має 6 чорних кульок та 3 білих кулі. Перша людина випадковим чином вибирає одну з урн, а потім хапає кулю випадковим чином із обрана урна. Яка ймовірність того, що кулька буде чорною? Якщо людина схопив чорну кульку. Яка ймовірність того, що куля вийшла з урни В?

Answer 1

Нехай A — куля виявиться чорною. Відповідно введемо гіпотези

$H_1,H_2,H_3$, що характеризують обрання кулі з А, В, С урни відповідно.

$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\dfrac{1}{3}$

$P(A|H_1)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3};\\ \\ P(A|H_2)=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2};\\ \\ P(A|H_3)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.$

За формулою повної імовірності, імовірність появи події А

$P(A)=\dfrac{1}{3}\Bigg(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}\Bigg)=\dfrac{1}{2}$

За формулою Байєса, імовірність того, що випадково вибрана кулька вийшла з урни В: $P(H_2|A)=\dfrac{P(A|H_2)P(H_2)}{P(A)}=\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, давайте спочатку обчислимо ймовірність того, що випадково обрана урна буде кожною з урн: А, В і С.

1. Ймовірність обрати урну А (P(А)) - це просто кількість кульок в урні А поділена на загальну кількість кульок у всіх урнах: P(А) = (3 + 6 + 6) / (3 + 6 + 40 + 40 + 6 + 3) = 15 / 98 ≈ 0.1531

2. Ймовірність обрати урну В (P(В)): P(В) = (40 + 40) / (3 + 6 + 40 + 40 + 6 + 3) = 80 / 98 ≈ 0.8163

3. Ймовірність обрати урну С (P(С)): P(С) = (6 + 3) / (3 + 6 + 40 + 40 + 6 + 3) = 9 / 98 ≈ 0.0918

Тепер, якщо людина схопила чорну кульку, ми повинні обчислити ймовірність того, що куля була з урни В. Для цього скористаємося формулою умовної ймовірності:

P(В|Ч) = P(В ∩ Ч) / P(Ч)

де P(В|Ч) - це ймовірність того, що куля вийшла з урни В при умові, що вона є чорною.

P(Ч) - це ймовірність того, що куля є чорною і дорівнює:

P(Ч) = (3 + 40 + 6) / (3 + 6 + 40 + 40 + 6 + 3) = 49 / 98 ≈ 0.5

P(В ∩ Ч) - це ймовірність того, що куля є чорною і вона з урни В і дорівнює:

P(В ∩ Ч) = 40 / (3 + 6 + 40 + 40 + 6 + 3) = 40 / 98 ≈ 0.4082

Тепер підставимо ці значення в формулу умовної ймовірності:

P(В|Ч) = 0.4082 / 0.5 ≈ 0.8164

Отже, ймовірність того, що куля вийшла з урни В при умові, що вона є чорною, приблизно дорівнює 0.8164 або 81.64%.