Question

Доказать, что уравнение x^4 + y^4 + z^4 = 2020 не имеет решений в целых числах

Answer 1

По малой теореме Ферма $t^4=t^{5-1}\equiv 1(mod \:5)$, если t не кратно 5.

Тогда, если хотя бы одно из чисел x, y, z не кратно 5, левая часть уравнения дает один из остатков 1, 2 или 3 (в зависимости от кол-ва чисел среди x, y, z, не кратных 5). С другой стороны, 2020=5*404 - кратно 5. Противоречие. Значит каждое из чисел x, y, z кратно 5.

Введем замену $x=5a,\;y=5b,\;z=5c$

$(5a)^4+(5b)^4+(5c)^4=2020\\ 5^3(a^4+b^4+c^4)=404$

Правая часть дает остаток 4 при делении на 5, а левая делится на 5. Противоречие. А значит уравнение не имеет решений в целых числах.

Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом "метод бесконечного спуска" (infinite descent).

Предположим, что уравнение x^4 + y^4 + z^4 = 2020 имеет решение в целых числах. Пусть (a, b, c) - это одно из таких решений, где a, b и c - целые числа, а их наименьший общий знаменатель равен 1.

Так как a^4, b^4 и c^4 являются квадратами целых чисел, то их сумма, равная 2020, также должна быть квадратом целого числа. Но 2020 = 2^2 * 5 * 101 не является квадратом целого числа, так как не содержит кратных множителей второй степени.

Таким образом, наше предположение неверно, и уравнение x^4 + y^4 + z^4 = 2020 не имеет решений в целых числах. Это доказывает, что нельзя найти такие целые числа x, y и z, которые удовлетворяют данному уравнению.