Question

Докажите что число корень из 6 является иррациональным числом

Answer 1

Допустим обратное. Тогда $\sqrt6=\dfrac{m}{n};\;m,n\in N,\;HOD(m,n)=1$

$\sqrt6n=m\\ 6n^2=m^2$

Значит $m^2$ четно => $m$ четно.

$m=2c, c\in N\\ 6n^2=4c^2\\ 3n^2=2c^2$

Значит $n^2$ четно => $n$ четно.

Но тогда $HOD(m,n)\geq 2$ - противоречие.

А значит $\sqrt6$ - иррациональное число

Answer 2

Для доказательства того, что корень из 6 (т.е., √6) является иррациональным числом, мы предположим обратное, то есть предположим, что √6 - рациональное число.

Рациональное число может быть представлено в виде дроби a/b, где a и b являются целыми числами, а b не равно нулю. Таким образом, предположим, что:

√6 = a/b, где a и b - целые числа без общих делителей.

Теперь давайте приведем уравнение к виду:

6 = (a^2) / (b^2)

Умножим обе стороны на b^2:

6 * (b^2) = a^2

Таким образом, a^2 должно быть кратно 6, и следовательно, a также должно быть кратным 6. Давайте представим a в виде a = 6k, где k - некоторое целое число.

Теперь подставим a = 6k обратно в уравнение:

6 * (b^2) = (6k)^2

6 * (b^2) = 36k^2

Теперь разделим обе стороны на 6:

b^2 = 6k^2

Таким образом, b^2 также должно быть кратно 6, и следовательно, b также должно быть кратным 6.

Теперь у нас есть информация, что и a, и b кратны 6. Это означает, что они имеют общий делитель, а именно 6. Но это противоречит нашему исходному предположению, что a и b не имеют общих делителей, кроме 1.

Таким образом, наше предположение о том, что √6 является рациональным числом, неверно. Следовательно, мы можем заключить, что корень из 6 (√6) является иррациональным числом.