Question

13.17. Для функции y = -2(x-3)2 + 8 найдите: 1) нули функции и наибольшее ее значение;2) точки пересечения графика функции с осью OY;3) координаты вершины параболы и ось симметрии;4) промежутки возрастания и убывания.​

Answer 1

Ответ:

y = -2(x-3)² + 8 - квадратичная, графиком является парабола.

3) Координаты вершины параболы: (3;8).

Уравнение оси симметрии: х = 3.

1)

а) Нули функции:

у = 0, тогда

-2(x-3)² + 8 = 0

-2(x-3)² = - 8

(x-3)² = 4

х-3 = 2 или х-3 = -2

х = 5            х = 1

б) Так как а = -2, -2<0, ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Наибольшее значение: у = 8.

2) Найдём точку пересечения графика функции с осью Оу:

х = 0, тогда y = -2(0-3)² + 8 = -2*9 + 8 = -10.

Координаты точки пересечения с осью ординат: (0; -10).

4) Промежутки монотонности:

функция возрастает при х ∈ (- ∞ ; 3]

функция убывает при х ∈ [3; + ∞).

Answer 2

Давайте решим каждый из пунктов по очереди для функции y = -2(x-3)2 + 8:

1. Нули функции и наибольшее ее значение: Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Для найти их, приравняем y к нулю и решим уравнение:

0 = -2(x-3)^2 + 8

2(x-3)^2 = 8

(x-3)^2 = 4

x - 3 = ±√4

x - 3 = ±2

Таким образом, получаем два значения для x:

x₁ = 3 + 2 = 5

x₂ = 3 - 2 = 1

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения x обратно в исходную функцию:

y₁ = -2(5-3)^2 + 8 = -2(2)^2 + 8 = -2(4) + 8 = 0

y₂ = -2(1-3)^2 + 8 = -2(-2)^2 + 8 = -2(4) + 8 = 0

Таким образом, функция имеет два нуля: (5, 0) и (1, 0).

Наибольшее значение функции будет в вершине параболы. Обратим внимание, что у коэффициента при квадратичном члене у нас отрицательное значение (-2). Это означает, что парабола будет направлена вниз, и вершина параболы будет являться максимумом функции.

2. Точки пересечения графика функции с осью OY: Точки пересечения графика с осью OY имеют координаты (0, y), где y - значение функции при x = 0:

y = -2(0-3)^2 + 8 = -2(-3)^2 + 8 = -2(9) + 8 = -10

Таким образом, функция пересекает ось OY в точке (0, -10).

3. Координаты вершины параболы и ось симметрии: Функция дана в виде у = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.

Сравниваем с исходной функцией: y = -2(x - 3)^2 + 8

Видим, что h = 3, и k = 8. Таким образом, координаты вершины параболы - (3, 8).

Ось симметрии параллельна оси x и проходит через вершину параболы. В данном случае, ось симметрии имеет уравнение x = 3.

4. Промежутки возрастания и убывания: Функция у = -2(x-3)^2 + 8 имеет отрицательный коэффициент при квадратичном члене, что означает, что она будет убывать на всей области определения (минус бесконечность до плюс бесконечность).

Промежутки возрастания отсутствуют, так как парабола направлена вниз и не имеет точек максимума.