Question

Докажите что многочлен 4х^2-4х+3у^2+3 принимает только положительные значения! Пожалуйста помогите!

Answer 1

$4x^2-4x+3y^2+3=$

$=(4x^2-4x+1)-1+3y^2+3=$

$=((2x)^2-2*2x*1+1^2)-1+3y^2+3=$

$=(2x-1)^2+3y^2+2$

Получаем:

$(2x-1)^2\geq 0$  при любых значениях $x$;

$3y^2\geq 0$ при любых значениях $y$

Даже если первые два слагаемые $(2x-1)^2$  и  $3y^2$  равны нулю, то вся сумма $(2x-1)^2+3y^2+2>0$ принимает только положительные значения.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен $4x^2 - 4x + 3y^2 + 3$ принимает только положительные значения, нужно показать, что этот многочлен не может быть равным нулю или быть отрицательным для любых действительных значений $x$ и $y$.

Давайте разделим доказательство на две части: сначала докажем, что $4x^2 - 4x$ всегда положителен, а затем, что $3y^2 + 3$ также всегда положителен. Комбинируя эти два факта, мы покажем, что исходный многочлен всегда принимает только положительные значения.

1. Доказательство $4x^2 - 4x \geq 0$: Выражение $4x^2 - 4x$ является квадратным трехчленом с ведущим коэффициентом $4 > 0$. Таким образом, его график представляет собой параболу, которая открывается вверх. Для такой параболы дискриминант $D$ всегда отрицателен или равен нулю, что означает, что уравнение $4x^2 - 4x = 0$ имеет не более одного действительного корня.

Для нахождения вершины параболы, воспользуемся формулой $x = \frac{-b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. В данном случае, $a = 4$ и $b = -4$. Подставим эти значения в формулу:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим $x = \frac{1}{2}$ в выражение $4x^2 - 4x$:

$4\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 = 1 - 2 = -1$

Мы видим, что значение при $x = \frac{1}{2}$ равно $-1$. Это единственная точка, где значение отрицательно.

Таким образом, для всех значений $x$ за исключением $x = \frac{1}{2}$, $4x^2 - 4x$ всегда больше или равно нулю.

2. Доказательство $3y^2 + 3 > 0$: Выражение $3y^2 + 3$ является квадратным трехчленом с ведущим коэффициентом $3 > 0$. Таким образом, его график представляет собой параболу, которая открывается вверх. Как и в предыдущем случае, для такой параболы дискриминант $D$ всегда отрицателен или равен нулю, а уравнение $3y^2 + 3 = 0$ имеет не более одного действительного корня.

Подставим $y = 0$ в выражение $3y^2 + 3$:

$3 \cdot 0^2 + 3 = 3 > 0$

Таким образом, для всех значений $y$, кроме $y = 0$, $3y^2 + 3$ всегда больше нуля.

Теперь объединим оба доказательства:

• Мы доказали, что $4x^2 - 4x \geq 0$ для всех $x$ (кроме $x = \frac{1}{2}$).
• Мы доказали, что $3y^2 + 3 > 0$ для всех $y$ (кроме $y = 0$).

Это означает, что исходный многочлен $4x^2 - 4x + 3y^2 + 3$ всегда принимает только положительные значения для всех значений $x$ и $y$, кроме $x = \frac{1}{2}$ и $y = 0$.