Question

Разложите на множители X^2+y^2+2xy-(x+y)^3

Answer 1

$x^2+y^2+2xy-(x+y)^3=(x+y)^2-(x+y)^3=(x+y)^2(1-x-y)$

Answer 2

Для разложения данного выражения на множители воспользуемся алгебраическими методами факторизации. Давайте поэтапно выполним разложение на множители:

1. Разложим выражение (x + y)^3 с помощью формулы куба суммы: (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.

2. Заменим данное разложение в исходном выражении: X^2 + y^2 + 2xy - (x + y)^3 = X^2 + y^2 + 2xy - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3).

3. Перегруппируем слагаемые: X^2 + y^2 + 2xy - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = X^2 - x^3 + y^2 - y^3 + 2xy - 3x^2y - 3xy^2.

4. Выполним факторизацию по группам: X^2 - x^3 + y^2 - y^3 + 2xy - 3x^2y - 3xy^2 = (X^2 - x^3) + (y^2 - y^3) + (2xy - 3x^2y - 3xy^2).

5. Факторизуем каждую группу по отдельности: (X^2 - x^3) + (y^2 - y^3) + (2xy - 3x^2y - 3xy^2) = x(X^2 - x^2) + y(y^2 - y^2) + xy(2 - 3x - 3y).

6. Продолжим факторизацию: x(X^2 - x^2) + y(y^2 - y^2) + xy(2 - 3x - 3y) = x(X - x)(X + x) + y(y - y)(y + y) + xy(2 - 3x - 3y).

Таким образом, исходное выражение X^2 + y^2 + 2xy - (x + y)^3 разлагается на множители: (x - X)(X + x) + (y - y)(y + y) + xy(2 - 3x - 3y).

Данное выражение является окончательным разложением на множители.