Question

Установите четность или нечетность функции: 1) у=2tgx+sin2x 2) y=2^x/x+2 3) y=cos2x-x^2/cosx 4) y=x•|sinx|•sin^3x 5) y=x•2^-x^2

Answer 1

$f(-x)=-f(x)$   нечётная функция

$f(-x)=f(x)$   чётная функция

$1)\; \; y=2tgx+sin2x\\\\y(-x)=2tg(-x)+sin(-2x)=-2tgx-sinx=-(2tgx+sin2x)=-y(x)$

нечётная

$2)\; \; y=\frac{2^{x}}{x+2}\\\\y(-x)=\frac{2^{-x}}{-x+2}=\frac{1}{2^{x}\cdot (2-x)}$

функция общего вида (ни чётная , ни нечётная)

$3)\; \; y=\frac{cos2x-x^2}{cosx}\\\\y(-x)=\frac{cos(-2x)-(-x)^2}{cos(-x)}=\frac{cos2x-x^2}{cosx}=y(x)$

чётная

$4)\; \; y=x\cdot |sinx|\cdot sin^3x\\\\y(-x)=(-x)\cdot |sin(-x)|\cdot sin^3(-x)=-x\cdot |-sinx|\cdot (-sin^3x)=\\\\=x\cdot |sinx|\cdot sin^3x=y(x)$

чётная

$5)\; \; y=x\cdot 2^{-x^2}\\\\y(-x)=-x\cdot 2^{-(-x)^2}=-(x\cdot 2^{-x^2})=-y(x)$

нечётная

Answer 2

1) нечетная, как сумма двух нечетных,

2) ни четная. ни нечетная, т.к.  y(-х)=2⁻ˣ/(-x)+2=

-1/(2ˣ*x)+2≠у(х), y(-х)≠-у(х)

3) четная, т.к. все входящие четные, алгебраическая сумма тоже будет четной.

4) четная, т.к.  y(-х)=(-x)•|sin(-x)|•sin³(-x)=x•|sinx|•sin³x

5) нечетная, т.к. y(-х)=(-x)•2^-(-x)^2-у(х)

Answer 3

Для определения четности или нечетности функции, нужно проанализировать, как функция ведет себя при изменении аргумента.

1. Функция у=2tgx+sin2x:

Тангенс (tg) - нечетная функция, а синус (sin) - также нечетная функция. Сумма двух нечетных функций даст четную функцию.

Ответ: Функция четная.

2. Функция y=2^x/x+2:

Это не очевидно, но можно заметить, что в числителе степень двойки - четное число (x в степени), а в знаменателе x - степень одного. Дробь будет нечетной функцией.

Ответ: Функция нечетная.

3. Функция y=cos2x-x^2/cosx:

Косинус (cos) - четная функция, а квадрат (x^2) - тоже четная функция. Вычитание четных функций дает четную функцию.

Ответ: Функция четная.

4. Функция y=x•|sinx|•sin^3x:

Здесь есть произведение трех функций: x, |sinx| и sin^3x.

• x - функция является нечетной.
• |sinx| - модуль синуса, и он всегда неотрицателен, поэтому |sinx| является четной функцией.
• sin^3x - куб синуса, и также является нечетной функцией.

Умножение нечетной функции на четную функцию дает нечетную функцию.

Ответ: Функция нечетная.

5. Функция y=x•2^-x^2:

Здесь есть произведение двух функций: x и 2^-x^2.

• x - функция является нечетной.
• 2^-x^2 - это экспоненциальная функция с отрицательным показателем степени. Экспоненциальная функция с отрицательным показателем степени всегда будет четной.

Умножение нечетной функции на четную функцию дает нечетную функцию.

Ответ: Функция нечетная.

Итак, чтобы подытожить:

1. y=2tgx+sin2x - четная функция
2. y=2^x/x+2 - нечетная функция
3. y=cos2x-x^2/cosx - четная функция
4. y=x•|sinx|•sin^3x - нечетная функция
5. y=x•2^-x^2 - нечетная функция