Question

Докажи что, при любом натуральном значении х выражение: (3х+7)²-1 делиться на 3​

Answer 1

(3x+7)²-1=(3x+7)²-1²=(3x+7-1)(3x+7+1)=(3x+6)(3x+8)=9x²+18x+24x+48=

=9x²+42x+48=3(3x²+14x+16)

Путем равносильных преобразований из разности (3х+7)²-1 получено произведение 3(3x²+14x+16), одним из множителей которого является число 3, значит, данное произведение делится на 3. Следовательно, при любом х∈N, первоначальное выражение (3х+7)²-1 также делится на 3. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (3x + 7)² - 1 делится на 3 для любого натурального значения x, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При x = 1: (3 * 1 + 7)² - 1 = (3 + 7)² - 1 = 10² - 1 = 100 - 1 = 99.

99 делится на 3 без остатка, так как 99 = 3 * 33.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого натурального числа k выражение (3k + 7)² - 1 делится на 3, то есть существует натуральное число m такое, что (3k + 7)² - 1 = 3m.

Шаг 3: Доказательство для (k + 1) Рассмотрим выражение (3(k + 1) + 7)² - 1: (3(k + 1) + 7)² - 1 = (3k + 3 + 7)² - 1 = (3k + 10)² - 1 = (3k + 10)(3k + 10) - 1 = 9k² + 30k + 30k + 100 - 1 = 9k² + 60k + 99.

Мы знаем, что (3k + 7)² - 1 делится на 3, то есть (3k + 7)² - 1 = 3m для некоторого натурального числа m. Таким образом, мы можем записать: 9k² + 60k + 99 = 9k² + 60k + 3 * 33 = 3(3k² + 20k + 33) = 3n,

где n = 3k² + 20k + 33 является натуральным числом.

Таким образом, мы показали, что если (3k + 7)² - 1 делится на 3 для некоторого натурального числа k, то (3(k + 1) + 7)² - 1 также делится на 3.

Заключение Используя метод математической индукции, мы доказали, что выражение (3x + 7)² - 1 делится на 3 для любого натурального значения x.