Question

Помогите!!! Используя введение вспомогательного аргумента, решите уравнение: √3*cos(2x/3)-sin(2x/3)=2

Answer 1

Делим обе части уравнения на 2:

$></p> <p>Обозначим:</p> <p><img src=$

$cos\frac{\pi }{6} cos\frac{2x}{3} -sin\frac{\pi }{6} sin\frac{2x}{3} =1\\ \\cos(\frac{\pi }{6} +\frac{2x}{3} )=1$

$\frac{\pi }{6} +\frac{2x}{3} =2\pi k, k \in Z\\ \\ \frac{2x}{3} =-\frac{\pi }{6}+ 2\pi k, k \in Z\\ \\ x=-\frac{\pi }{4} +3\pi k, k \in Z$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы можем ввести вспомогательный аргумент t, равный 2x/3. Тогда уравнение примет вид:

√3*cos(t) - sin(t) = 2.

Далее, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(√3*cos(t) - sin(t))^2 = 2^2.

Упрощая это уравнение, получим:

3cos^2(t) - 2√3cos(t)*sin(t) + sin^2(t) = 4.

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования этого уравнения. Известно, что:

cos^2(t) + sin^2(t) = 1,

и

2*sin(t)*cos(t) = sin(2t).

Заменим второе тождество в уравнении:

3cos^2(t) - 2√3sin(2t) + sin^2(t) = 4.

Теперь объединим квадраты косинуса и синуса:

4 - 2√3*sin(2t) = 4.

Отсюда получаем:

-2√3*sin(2t) = 0.

Из этого уравнения следует, что sin(2t) = 0. Рассмотрим возможные значения t, при которых это верно:

1. Если sin(2t) = 0, то 2t = 0 или 2t = π.

2. Если 2t = 0, то t = 0.

3. Если 2t = π, то t = π/2.

Используя вспомогательный аргумент, мы нашли два возможных значения t: t = 0 и t = π/2.

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем решить уравнения t = 2x/3 относительно x:

1. Если t = 0, то 2x/3 = 0, откуда x = 0.

2. Если t = π/2, то 2x/3 = π/2, откуда x = (3π/4).

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = (3π/4).