Question

Докажите что если 2n делится на 3, то тоже n делится на 3

Answer 1

если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3

2n - делится на 3, 2 - не делится на 3, значит на 3 делится n

чтд

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый шаг. При n = 1 выполняется условие, так как 2*1 = 2, и 2 не делится на 3, а n = 1 тоже не делится на 3.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, т.е., если 2k делится на 3, то k делится на 3.

Шаг 3: Шаг индукции. Докажем, что утверждение также верно для k + 1, т.е., если 2(k + 1) делится на 3, то (k + 1) делится на 3.

По предположению индукции, если 2k делится на 3, то k делится на 3. Из этого следует, что 2k можно записать в виде 2k = 3m, где m - целое число.

Теперь рассмотрим выражение для k + 1: 2(k + 1) = 2k + 2 = 3m + 2.

Мы видим, что 2(k + 1) представляет собой число, которое на 2 больше числа 3m. Из этого следует, что 2(k + 1) не делится на 3.

Теперь рассмотрим выражение для (k + 1): (k + 1) = k + 1.

Мы уже знаем, что k делится на 3, т.е. k можно записать в виде k = 3n, где n - целое число.

Теперь подставим k = 3n в выражение (k + 1): (k + 1) = 3n + 1.

Мы видим, что (k + 1) представляет собой число, которое на 1 больше числа 3n. Из этого следует, что (k + 1) не делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что если 2(k + 1) не делится на 3, то (k + 1) не делится на 3.

Итак, по методу математической индукции утверждение верно для всех положительных целых чисел n.

Это завершает доказательство.