Question

Sqrt(2)*sin(x)+2*sin(2x-pi/6)=sqrt(3)*sin(2*x)+1Помогите пожалуйста

Answer 1

$\sqrt2sinx+2\, sin(2x-\frac{\pi}{6})=\sqrt3\, sin2x+1\\\\\sqrt2\, sinx+2(sin2x\, cos\frac{\pi}{6}-cos2x\, sin\frac{\pi}{6})=\sqrt3\, sin2x+1\\\\\sqrt2sinx+\sqrt3\, sin2x-cos2x=\sqrt3\, sin2x+1\\\\\sqrt2\, sinx-(1+cos2x)=0\\\\\sqrt2\, sinx-(\underbrace {sin^2x+cos^2x}_{1}+\underbrace {cos^2x-sin^2x}_{cos2x})=0\\\\\sqrt2\, sinx-2cos^2x=0\\\\\sqrt2\, sinx-2(1-sin^2x)=0\\\\2sin^2x+\sqrt2\, sinx-2=0\; \; ,\; \; D=2+4\cdot 2\cdot 2=18\; ,\; \; \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2$

$-1\leq sinx\leq 1\\\\(sinx)_1=\frac{-\sqrt2-3\sqrt{2}}{4}=\frac{-4\sqrt2}{4}=-\sqrt2\approx -1,4$

$P.S.\; \quad \; cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\; \; ,\; \; sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$

Answer 2

Решение данного уравнения требует применения алгебраических методов. Давайте пошагово решим его:

1. Распределим тригонометрические функции по сторонам уравнения: Sqrt(2)sin(x) + 2sin(2x - pi/6) = Sqrt(3)*sin(2x) + 1

2. Преобразуем функции суммы в произведение с помощью тригонометрических тождеств: Sqrt(2)sin(x) + 2(sin(2x)*cos(pi/6) - cos(2x)*sin(pi/6)) = Sqrt(3)*sin(2x) + 1

3. Упростим уравнение, используя тригонометрические тождества: Sqrt(2)sin(x) + 2(sin(2x)(Sqrt(3)/2) - cos(2x)(1/2)) = Sqrt(3)*sin(2x) + 1

4. Раскроем скобки: Sqrt(2)*sin(x) + Sqrt(6)*sin(2x)/2 - cos(2x) + Sqrt(3)*sin(2x) + 1 = 0

5. Сгруппируем слагаемые: (Sqrt(2)*sin(x) + (Sqrt(6)/2 + Sqrt(3))*sin(2x) - cos(2x)) + 1 = 0

6. Перенесём 1 на другую сторону: Sqrt(2)*sin(x) + (Sqrt(6)/2 + Sqrt(3))*sin(2x) - cos(2x) = -1

7. Воспользуемся тригонометрическими тождествами для sin(2x) и cos(2x): Sqrt(2)sin(x) + (Sqrt(6)/2 + Sqrt(3))(2*sin(x)cos(x)) - (1 - 2sin(x)^2) = -1

8. Упростим выражение: Sqrt(2)sin(x) + (Sqrt(6)/2 + Sqrt(3))(2*sin(x)cos(x)) - 1 + 2sin(x)^2 = -1

9. Раскроем скобки: Sqrt(2)*sin(x) + Sqrt(6)*sin(x)*cos(x) + Sqrt(3)*sin(x)cos(x) - 1 + 2sin(x)^2 = -1

10. Сгруппируем слагаемые: 2*sin(x)^2 + (Sqrt(2) + Sqrt(6) + Sqrt(3))*sin(x)*cos(x) - 1 = -1

11. Перенесём -1 на другую сторону: 2*sin(x)^2 + (Sqrt(2) + Sqrt(6) + Sqrt(3))*sin(x)*cos(x) = 0

12. Выразим sin(x)cos(x) через sin(2x): 2sin(x)^2 + (Sqrt(2) + Sqrt(6) + Sqrt(3))(2sin(x)*cos(x)) = 0

13. Упростим выражение: 2sin(x)^2 + 2(Sqrt(2) + Sqrt(6) + Sqrt(3))*sin(x)*cos(x) = 0

14. Факторизуем по sin(x): 2sin(x)(sin(x) + (Sqrt(2) + Sqrt(6) + Sqrt(3))*cos(x)) = 0

Теперь мы получили два уравнения:

1. sin(x) = 0

2. sin(x) + (Sqrt(2) + Sqrt(6) + Sqrt(3))*cos(x) = 0

Решение каждого из этих уравнений может быть найдено отдельно.