Question

Найти точки экстремума функции y=-x³+6x²+1​

Answer 1

Ответ: x=-4, x=0.

Объяснение:

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Находим производную и приравниваем её к нулю: y'=3*x²+12*x=3*x*(x+4)=0. Решая это уравнение, находим две критические точки x=0 и x=-4. Если x<-4, то y'>0, поэтому на интервале (-∞; -4) функция возрастает. Если -4<x<0, то y'<0, поэтому на интервале (-4; 0) функция убывает. Если x>0, то y'>0, так что на интервале (0; ∞) функция возрастает. Отсюда следует, что точка x=-4 является точкой максимума, а точка x=0 - точкой минимума функции. Однако эти экстремумы - локальные; наибольшего и наименьшего значения на всей области определения функция не имеет.  

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции y = -x³ + 6x² + 1, нужно найти её производную и найти значения x, при которых производная равна нулю.

1. Найдём производную функции y по переменной x: y' = -3x² + 12x

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: -3x² + 12x = 0

   Факторизуем это уравнение: -3x(x - 4) = 0

   Получаем два возможных значения для x: x₁ = 0 и x₂ = 4

3. Теперь найдём значения y, соответствующие найденным значениям x. Для x = 0: y = -(0)³ + 6(0)² + 1 = 1

   Для x = 4: y = -(4)³ + 6(4)² + 1 = 33

Таким образом, точки экстремума функции y = -x³ + 6x² + 1 это (0, 1) и (4, 33). Точка (0, 1) является локальным минимумом, а точка (4, 33) является локальным максимумом функции.