Question

Разложите на множители - m^8-36m^2+12m-1

Answer 1

m⁸ - 36m² + 12m - 1 = m⁸ - (36m² - 12m + 1) = m⁸ - (6m - 1)² = (m⁴ - 6m + 1)(m⁴ - 6m - 1)

Answer 2

Для разложения на множители полинома $m^8 - 36m^2 + 12m - 1$, нам понадобится найти все его возможные рациональные корни. Однако, сначала давайте проверим, имеет ли этот полином рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях (теорема о простых дробях).

Теорема о рациональных корнях (теорема о простых дробях) гласит, что если у многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень $r = \frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ взаимно простые целые числа), то $p$ является делителем свободного члена, а $q$ - делителем старшего коэффициента.

Для нашего полинома $m^8 - 36m^2 + 12m - 1$ старший коэффициент равен 1, а свободный член равен -1. Рациональные корни могут быть представлены в виде $\frac{p}{q}$, где $p$ является делителем -1, а $q$ является делителем 1. Это означает, что возможные рациональные корни для нашего полинома могут быть $\pm 1$.

Теперь давайте проверим, являются ли $\pm 1$ корнями полинома $m^8 - 36m^2 + 12m - 1$:

1. Подставим $m = 1$ в полином: $1^8 - 36 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 - 1 = 1 - 36 + 12 - 1 = -24 \neq 0$. $m = 1$ не является корнем.
2. Подставим $m = -1$ в полином: $(-1)^8 - 36 \cdot (-1)^2 + 12 \cdot (-1) - 1 = 1 - 36 - 12 - 1 = -48 \neq 0$. $m = -1$ не является корнем.

Таким образом, наши предположения о рациональных корнях были неверны, и у нас нет рациональных корней. В этом случае мы не можем разложить полином на линейные множители, и нам нужно искать другие методы разложения.

Для нахождения множителей нам придется использовать другие методы, такие как использование формул суммы и разности степеней или иное факторизации, но здесь формулу для разложения на множители не получится предоставить, так как она будет сложной и включать комплексные корни. Окончательное разложение может быть довольно громоздким, и оно может зависеть от того, какие методы разложения будут применены.