Question

Розв'яжіть рівняння Іх²-2х-7І=4 Знайдіть суму коренів рівняння, і надрукуйте це число

Answer 1

|x² - 2x - 7| = 4

1) x² - 2x - 7 = 4

x² - 2x - 11 = 0

D = (- 2)² - 4 * (- 11) = 4 + 44 = 48 = (4√3)²

$x_{1}=\frac{2+4\sqrt{3}}{2} =1+2\sqrt{3}\\\\x_{2}=\frac{2-4\sqrt{3}}{2}=1-2\sqrt{3}$

2) x² - 2x - 7 = - 4

x² - 2x - 3 = 0

По теореме Виета :

x₁ = - 1       x₂ = 3

Сумма корней равна :

1 + 2√3 + 1 - 2√3 - 1 + 3 = 4

Ответ : 4

Answer 2

Для розв'язання рівняння Іх² - 2х - 7І = 4, спочатку зведемо його до стандартного квадратного вигляду, тобто до вигляду ах² + bx + c = 0.

Звернімо увагу, що у рівнянні є модуль, тому воно може мати два різних вигляди:

1. Іх² - 2х - 7 = 4, якщо (х² - 2х - 7) ≥ 0, або

2. -(х² - 2х - 7) = 4, якщо (х² - 2х - 7) < 0.

3. Іх² - 2х - 7 = 4: Приберемо 4 з обох боків рівняння: Іх² - 2х - 11 = 0.

4. -(х² - 2х - 7) = 4: Перенесемо все наліво та змінимо знак: -х² + 2х + 11 = 0.

Тепер маємо два окремі квадратні рівняння:

1. х² - 2х - 11 = 0,
2. -х² + 2х + 11 = 0.

Розв'язавши обидва рівняння, знаходимо їх корені:

1. х² - 2х - 11 = 0: Користуємося формулою квадратного рівняння: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

де a = 1, b = -2, c = -11.

х₁ = (2 + √((-2)² - 4 * 1 * (-11))) / 2 * 1 х₁ = (2 + √(4 + 44)) / 2 х₁ = (2 + √48) / 2 х₁ = (2 + 4√3) / 2 х₁ = 1 + 2√3.

х₂ = (2 - √((-2)² - 4 * 1 * (-11))) / 2 * 1 х₂ = (2 - √(4 + 44)) / 2 х₂ = (2 - √48) / 2 х₂ = (2 - 4√3) / 2 х₂ = 1 - 2√3.

2. -х² + 2х + 11 = 0: Користуємося тією ж формулою: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

де a = -1, b = 2, c = 11.

х₁ = ( -2 + √(2² - 4 * -1 * 11)) / 2 * -1 х₁ = ( -2 + √(4 + 44)) / -2 х₁ = ( -2 + √48) / -2 х₁ = ( -2 + 4√3) / -2 х₁ = -1 - 2√3.

х₂ = ( -2 - √(2² - 4 * -1 * 11)) / 2 * -1 х₂ = ( -2 - √(4 + 44)) / -2 х₂ = ( -2 - √48) / -2 х₂ = ( -2 - 4√3) / -2 х₂ = -1 + 2√3.

Таким чином, маємо чотири корені: х₁ = 1 + 2√3, х₂ = 1 - 2√3, х₃ = -1 - 2√3, х₄ = -1 + 2√3.

Для знаходження суми коренів рівняння, просто додамо їх:

Сума коренів = (1 + 2√3) + (1 - 2√3) + (-1 - 2√3) + (-1 + 2√3) = 0.

Таким чином, сума коренів рівняння дорівнює 0.