Question

43^7-5Докажите что выражение кратно 41РАЦИОНАЛЬНЫМ СПОСОБОМ! (13 баллов) ​

Answer 1

Решение задания приложено. Используем бином Ньютона.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $43^7 - 5$ кратно 41, мы можем использовать теорему малой Ферма, которая гласит следующее:

Если $p$ - простое число и $a$ - целое число, не кратное $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Для нашего случая $p = 41$, и $a = 43$. Поскольку 43 не кратно 41, мы можем применить теорему малой Ферма для доказательства кратности.

Шаг 1: Найдем $43^{41-1}$.

$43^{41-1} = 43^{40}$

Шаг 2: Разложим 40 на простые множители:

$40 = 2^3 \times 5$

Шаг 3: Преобразуем выражение:

$43^{40} = (43^8)^5$

Шаг 4: Теперь найдем $43^8$:

$43^8 = (43^2)^4 = 1849^4$

Шаг 5: Рассчитаем $1849^4$:

$1849^4 \equiv (1800 + 49)^4 \equiv 49^4 \pmod{41}$

Шаг 6: Вычислим $49^4$:

$49^4 = 2401^2$

Шаг 7: Рассчитаем $2401^2$:

$2401^2 \equiv (2400 + 1)^2 \equiv 1^2 \pmod{41}$

Шаг 8: Окончательное вычисление:

$1^2 = 1 \pmod{41}$

Таким образом, мы доказали, что $43^7 - 5$ кратно 41, так как $43^7 - 5 \equiv 1 - 5 \equiv -4 \equiv 0 \pmod{41}$.

Таким образом, выражение $43^7 - 5$ кратно 41.