Question

На прямой взяты 17 точек, а на параллельной ей прямой взяты 4 точ(-ки, -ек). Вычисли, сколько существует различных треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Answer 1

Чтобы выбранные точки были вершинами треугольника, нужно чтобы они не лежали на одной прямой.

Первый вариант. На первой прямой выбрать две точки, а на второй прямой - одну. Выборы друг от друга не зависят, поэтому результирующие количества нужно перемножить:

$C_{17}^2\cdot C_4^1=\dfrac{17\cdot16}{1\cdot2}\cdot4 =17\cdot8\cdot4=544$

Второй вариант. На первой прямой выбрать одну точку, а на второй - две.

$C_{17}^1\cdot C_4^2=17\cdot\dfrac{4\cdot3}{1\cdot2}=17\cdot2\cdot3=102$

Итоговое число треугольников:

$544+102=646$

Ответ: 646 треугольников

Answer 2

Чтобы вычислить количество различных треугольников, образованных из 17 точек на одной прямой и 4 точек на параллельной прямой, нужно использовать комбинаторику и знать условие, при котором треугольник образуется.

Условие образования треугольника: Для того чтобы треугольник существовал, сумма длин любых двух его сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

Поскольку треугольник образуется из 3 точек, а у нас есть 21 точка (17 на одной прямой и 4 на другой), давайте рассмотрим все возможные комбинации по 3 точки и проверим условие образования треугольника.

Для 17 точек на прямой (назовем их A1, A2, ..., A17) количество возможных комбинаций из 3 точек будет:

C(17, 3) = 17! / (3! * (17-3)!) = 17! / (3! * 14!) = (17 * 16 * 15) / (3 * 2 * 1) = 680.

Аналогично, для 4 точек на параллельной прямой (назовем их B1, B2, B3, B4) количество возможных комбинаций из 3 точек будет:

C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4.

Теперь посчитаем, сколько из этих комбинаций удовлетворяют условию образования треугольника.

Для каждой комбинации из 3 точек (Ai, Aj, Ak), где Ai, Aj, Ak - точки на прямой, нам нужно убедиться, что сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. То же самое нужно сделать для каждой комбинации из 3 точек (Bi, Bj, Bk), где Bi, Bj, Bk - точки на параллельной прямой.

Таким образом, нам нужно подсчитать количество комбинаций для которых выполнено условие для прямой и для параллельной прямой и сложить результаты.

Поскольку прямая и параллельная прямая не пересекаются, условие для них будет одинаковое.

Количество комбинаций, удовлетворяющих условию для одной прямой: C(17, 3) - количество комбинаций из 3 точек на одной прямой.

Количество комбинаций, удовлетворяющих условию для одной параллельной прямой: C(4, 3) - количество комбинаций из 3 точек на одной параллельной прямой.

Теперь, чтобы получить общее количество комбинаций для обеих прямых, нужно сложить эти два значения:

Количество комбинаций для обеих прямых = C(17, 3) + C(4, 3) = 680 + 4 = 684.

Таким образом, существует 684 различных треугольников, вершинами которых являются эти 17+4=21 точек.