Question

При якому значенні х значення виразів х+1, х+5 і 2х+4 будуть послідовними членами геометричної прогресії. Знайдіть члени ціеї прогресії

Answer 1

По свойству геометрической прогрессии :

bₙ² = bₙ₋₁ * bₙ₊₁

Другими словами :

b₂² = b₁ * b₃

b₁ = x + 1        b₂ = x + 5       b₃ = 2x + 4

Сдедовательно :

(x + 5)² = (x + 1) * (2x + 4)

x² + 10x + 25 = 2x² + 4x + 2x + 4

x² + 10x + 25 - 2x² - 6x - 4 = 0

- x² + 4x + 21 = 0

x² - 4x - 21 = 0

D = (- 4)² - 4 * (- 21) = 16 + 84 = 100 = 10²

$x_{1}=\frac{4-10}{2}=-3\\\\x_{2}=\frac{4+10}{2}=7$

1) x = - 3    ⇒ x + 1 = - 3 + 1 = - 2

x + 5 = - 3 + 5 = 2             2x + 4 = 2 * (- 3) + 4 = - 6 + 4 = - 2

÷ - 2 ; 2 ; - 2

2) x = 7     ⇒    x + 1 = 7 + 1 = 8

x + 5 = 7 + 5 = 12             2x + 4 = 2 * 7 + 4 = 14 + 4 = 18

÷ 8 ; 12 ; 18

Ответ : - 2 ; 2 ; - 2      или     8 ; 12 ; 18

Answer 2

Для того щоб значення виразів х+1, х+5 і 2х+4 були послідовними членами геометричної прогресії, необхідно, щоб відношення будь-яких двох сусідніх членів прогресії було постійним.

Отже, ми маємо знайти таке значення х, при якому:

$\frac{х+5}{х+1} = \frac{2х+4}{х+5}$

Спростимо це рівняння:

$(х+5)(х+5) = (2х+4)(х+1)$

$х^2 + 5х + 5х + 25 = 2х^2 + 4х + 2х + 4$

$х^2 + 10х + 25 = 2х^2 + 6х + 4$

Тепер перенесемо всі члени на одну сторону рівності:

$х^2 - 4х - 21 = 0$

Тепер ми маємо квадратне рівняння. Давайте знайдемо його корені:

Використовуючи квадратну формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, де $ax^2 + bx + c = 0$, отримаємо:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 10}{2}$

Тепер роздивимося два випадки:

1. $x = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$
2. $x = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Отже, маємо два значення x, при яких ці вирази будуть послідовними членами геометричної прогресії: x = 7 та x = -3.

Тепер знайдемо члени геометричної прогресії:

1. При x = 7: Перший член: х + 1 = 7 + 1 = 8 Другий член: х + 5 = 7 + 5 = 12 Третій член: 2х + 4 = 2 * 7 + 4 = 18

   Відношення сусідніх членів: $\frac{12}{8} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

2. При x = -3: Перший член: х + 1 = -3 + 1 = -2 Другий член: х + 5 = -3 + 5 = 2 Третій член: 2х + 4 = 2 * (-3) + 4 = -2

   Відношення сусідніх членів: $\frac{2}{-2} = \frac{-2}{2} = -1$

Отже, отримані значення членів геометричної прогресії для кожного випадку:

1. При x = 7: 8, 12, 18
2. При x = -3: -2, 2, -2