Question

Найти наименьшее значение функции: y= x^2-2/x^2+2

Answer 1

y'= ((x²-2)/(x²+2))'=(2x*(x²+2)-2x*(x²-2))/(x²+2)²

(2x³+4x-2x³+4x)/(x²+2)²=8x/(x²+2)², Найдем критическую точку, она одна.  8x/(x²+2)²; x=0

Посмотрим, как ведет себя производная при переходе через нее.

______0______

 -                 +

Значит, в точке х=0 функция достигает экстремального, точнее минимального значения, равного y=(0-2)/(0+2)=-1

Это и будет наименьшим значением функции, наибольшего нет.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = x^2 - 2/x^2 + 2, нужно найти минимум функции. Для этого производная функции должна быть равна нулю.

Давайте найдем производную функции y по x:

y = x^2 - 2/x^2 + 2

y' = d/dx (x^2) - d/dx (2/x^2) + d/dx (2)

y' = 2x + 2(2/x^3)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x, которые являются кандидатами на минимум:

0 = 2x + 2(2/x^3)

Для удобства избавимся от знаменателя:

0 = 2x^4 + 4

2x^4 = -4

x^4 = -2

x = ±√(-2)

Теперь мы видим, что нет реальных действительных корней, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа без использования комплексных чисел. Это означает, что функция y = x^2 - 2/x^2 + 2 не имеет минимума на действительных числах.

Однако, если мы рассмотрим функцию на интервале от x = -∞ до x = +∞, то можно показать, что y устремляется к +∞ при x -> +∞ и y устремляется к +∞ при x -> -∞. Таким образом, функция не имеет минимума на действительных числах, а имеет точку разрыва на x = 0 (так как знаменатель обращается в ноль).

Итак, на действительных числах функция не имеет наименьшего значения.