Question

Знайти за яких значень параметра а сума КУБІВ коренів рівняння 6x^2+6(a-1)x-5a+2a^2=0буде найбільшою

Answer 1

Ответ:

===========

Объяснение:

Answer 2

Давайте знайдемо спершу корені рівняння і потім обчислимо суму кубів цих коренів відповідно до параметра "а".

Дано рівняння: 6x^2 + 6(a-1)x - 5a + 2a^2 = 0

Для знаходження коренів рівняння використаємо формулу дискримінанту: Дискримінант (D) = b^2 - 4ac

де a = 6, b = 6(a-1), c = -5a + 2a^2

Тоді D = (6(a-1))^2 - 4 * 6 * (-5a + 2a^2)

Розв'яжемо спершу дискримінант і знайдемо умови, за яких він буде додатнім (щоб було два різних корені) і за яких він буде дорівнювати нулю (щоб був один корінь):

D > 0: Два різних корені. D = 0: Один корінь кратності 2.

Коли D < 0, рівняння не має розв'язків.

1. Випадок D > 0 (два різних корені):

D > 0 (6(a-1))^2 - 4 * 6 * (-5a + 2a^2) > 0 36(a-1)^2 + 24a^2 - 120a > 0 36a^2 - 72a + 36 + 24a^2 - 120a > 0 60a^2 - 192a + 36 > 0

Тепер знайдемо вершину параболи, взявши похідну від лівої частини виразу та прирівняємо його до нуля:

d/dx (60a^2 - 192a + 36) = 0 120a - 192 = 0 120a = 192 a = 192 / 120 a = 8 / 5

Таким чином, при a > 8/5 рівняння матиме два різних корені.

2. Випадок D = 0 (один корінь кратності 2):

D = 0 (6(a-1))^2 - 4 * 6 * (-5a + 2a^2) = 0 60a^2 - 192a + 36 = 0

Також, знайдемо вершину параболи в цьому випадку:

d/dx (60a^2 - 192a + 36) = 0 120a - 192 = 0 120a = 192 a = 192 / 120 a = 8 / 5

Отже, при a = 8/5 рівняння матиме один корінь кратності 2.

3. Випадок D < 0 (немає розв'язків):

При a < 8/5 рівняння не матиме розв'язків.

Тепер обчислимо суму кубів коренів рівняння для кожного випадку:

1. При a > 8/5: Рівняння має два різних корені.

Сума кубів коренів: (корінь1)^3 + (корінь2)^3 Сума кубів коренів: x1^3 + x2^3

2. При a = 8/5: Рівняння має один корінь кратності 2.

Сума кубів коренів: 2 * (корінь1)^3 Сума кубів коренів: 2 * x1^3

3. При a < 8/5: Рівняння не має розв'язків.

Тепер, для кожного з цих трьох випадків, підставимо корені рівняння та обчислимо суму кубів:

1. При a > 8/5: Обчислимо корені рівняння за допомогою формули: x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a

де D = 60a^2 - 192a + 36 a = 8/5 (підставимо у вираз для D) D = 60 * (8/5)^2 - 192 * (8/5) + 36 D = 60 * 64/25 - 1536/5 + 36 D = 3840/25 - 3072/25 + 36 D = 768/25 + 36 D = 768/25 + 900/25 D = 1668/25

Тепер підставимо D і a у вираз для коренів:

x1 = (-6(a-1) + sqrt(1668/25)) / 12 x2 = (-6(a-1) - sqrt(1668/25)) / 12

Спростимо вираз:

x1 = (-6(a-1) + 2sqrt(417)/5) / 12 x2 = (-6(a-1) - 2sqrt(417)/5) / 12

x1 = (-a + 1 + sqrt(417)/5) / 2 x2 = (-a + 1 - sqrt(417)/5) / 2

Сума кубів коренів:

x1^3 + x2^3 = [(-a + 1 + sqrt(417)/5)/2