Question

Решите уравнение методом замены переменной: 3/x^2 -4x+1 - x^2 = 3-4x

Answer 1

Ответ:

x={0; 2; 4}

Объяснение:

3/(x²-4x+1)-x²=3-4x

3/(x²-4x+1)=x²-4x+3

3/(x²-4x+1)=(x²-4x+1)+2

t=x²-4x+1

3/t=t+2

3=t²+2t

t²+2t-3=0

D=4+12=16

t₁=(-2-4)/2=-3

x²-4x+1=-3

x²-4x+4=0

(x-2)²=0

x₁=2

t₂=(-2+4)/2=1

x²-4x+1=1

x²-4x=0

x(x-4)=0

x₂=0; x₃=4

Answer 2

Для решения данного уравнения методом замены переменной, давайте сначала внесём все слагаемые на одну сторону уравнения:

3/x^2 - 4x + 1 - x^2 - (3 - 4x) = 0

Затем приведём подобные слагаемые:

3/x^2 - x^2 - 4x + 4x + 1 - 3 = 0

Сократим -4x и 4x:

3/x^2 - x^2 + 1 - 3 = 0

Теперь объединим константы:

3/x^2 - x^2 - 2 = 0

Теперь произведём замену переменной, пусть u = x^2. Тогда уравнение примет вид:

3/u - u - 2 = 0

Умножим уравнение на u для избавления от дроби:

3 - u^2 - 2u = 0

Теперь приведём уравнение к квадратному виду:

-u^2 - 2u + 3 = 0

Перенесём все слагаемые на одну сторону:

-u^2 - 2u + 3 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент перед первым слагаемым был положительным:

u^2 + 2u - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Для данного уравнения a = 1, b = 2 и c = -3. Подставим значения в формулу:

D = 2^2 - 4(1)(-3) D = 4 + 12 D = 16

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два вещественных корня. Продолжим решение, используя формулу для нахождения корней:

u = (-b ± √D) / (2a)

u = (-2 ± √16) / (2 * 1)

u = (-2 ± 4) / 2

Разделим на 2:

u = -1 ± 2

Таким образом, у нас есть два значения для u: u₁ = -3 и u₂ = 1.

Теперь вернёмся к замене переменной:

u = x^2

Подставим значения u:

x^2 = -3 или x^2 = 1

Для первого уравнения x^2 = -3 нет решений в вещественных числах, поскольку квадрат любого вещественного числа всегда неотрицательный.

Для второго уравнения x^2 = 1 решениями являются x₁ = 1 и x₂ = -1.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются x₁ = 1 и x₂ = -1.