Question

Найти значение производной в точке х0 а) f(x) = 5x3 -6x4+3х2+1, x0 = 1;б) f(x)=(1-x)/(2x+3), x0=2в) f(x) = (x2+1) (x3-2), х0 = 1;г) f(x)=2x·sin5x, x0=π/2.

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Давайте найдем значение производной в заданных точках для каждой из функций:

а) f(x) = 5x^3 - 6x^4 + 3x^2 + 1, x0 = 1

Для нахождения значения производной в точке x0 = 1, нужно вычислить производную функции f(x) и подставить x0 = 1:

f'(x) = d/dx (5x^3 - 6x^4 + 3x^2 + 1) f'(x) = 15x^2 - 24x^3 + 6x

Теперь подставим x0 = 1:

f'(1) = 15*(1)^2 - 24*(1)^3 + 6*(1) f'(1) = 15 - 24 + 6 f'(1) = -3

Ответ: Значение производной функции f(x) в точке x0 = 1 равно -3.

б) f(x) = (1 - x) / (2x + 3), x0 = 2

Для нахождения значения производной в точке x0 = 2, нужно вычислить производную функции f(x) и подставить x0 = 2:

f'(x) = d/dx [(1 - x) / (2x + 3)]

Применим правило дифференцирования частного:

f'(x) = [(2x + 3) * d/dx (1 - x) - (1 - x) * d/dx (2x + 3)] / (2x + 3)^2

Вычислим производные:

d/dx (1 - x) = -1 d/dx (2x + 3) = 2

Подставим обратно в выражение для f'(x):

f'(x) = [(2x + 3) * (-1) - (1 - x) * 2] / (2x + 3)^2

Теперь подставим x0 = 2:

f'(2) = [(2 * 2 + 3) * (-1) - (1 - 2) * 2] / (2 * 2 + 3)^2 f'(2) = [(4 + 3) * (-1) + 2] / (4 + 3)^2 f'(2) = [-7 + 2] / 7^2 f'(2) = -5 / 49

Ответ: Значение производной функции f(x) в точке x0 = 2 равно -5/49.

в) f(x) = (x^2 + 1) * (x^3 - 2), x0 = 1

Для нахождения значения производной в точке x0 = 1, нужно вычислить производную функции f(x) и подставить x0 = 1:

f'(x) = d/dx [(x^2 + 1) * (x^3 - 2)]

Применим правило дифференцирования произведения:

f'(x) = (x^3 - 2) * d/dx (x^2 + 1) + (x^2 + 1) * d/dx (x^3 - 2)

Вычислим производные:

d/dx (x^2 + 1) = 2x d/dx (x^3 - 2) = 3x^2

Подставим обратно в выражение для f'(x):

f'(x) = (x^3 - 2) * 2x + (x^2 + 1) * 3x^2

Теперь подставим x0 = 1:

f'(1) = (1^3 - 2) * 2 * 1 + (1^2 + 1) * 3 * 1^2 f'(1) = (-1) * 2 + (1 + 1) * 3 f'(1) = -2 + 6 f'(1) = 4

Ответ: Значение производной функции f(x) в точке x0 = 1 равно 4.

г) f(x) = 2x * sin(5x), x0 = π/2

Для нахождения значения производной в точке x0 = π/2, нужно вычислить производную функции f(x) и подставить x0 = π/2:

f'(x) = d/dx [2x * sin(5x)]

Применим правило дифференцирования произведения:

f'(x) = 2 * sin(5x) + 2x * d/dx (sin(5x))

Вычислим производную sin(5x):

d/dx (sin(5x)) = 5 * cos(5x)

Подставим обратно в выражение для f'(x):

f'(x) = 2 * sin(5x) + 2x * 5 * cos(5x)

Теперь подставим x0 = π/2:

f'(π/2) = 2 * sin(5 * π/2) + 2 * (π/2) * 5 * cos(5 * π/2) f'(π/2) = 2 * sin(5 * π/2) + 2 * (π/2) * 5 * 0 f'(π/2) = 2 * 1 + 0 f'(π/2) = 2

Ответ: Значение производной функции f(x) в точке x0 = π/2 равно 2.