Question

4. Знайдіть суму перших дев'яти членів арифметичної прогресії , якщо x3 = 20 x5 = -40 5. Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 168, а сума наступних трьох дорівнює 21. Знайдіть суму перших п'яти членів прогресії.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

4. x₃=20     x₅=-40    S₉=?

{x₃=x₁+2d=20

{x₅=x₁+4d=-40

Вычитаем из второго уравнения первое:

2d=-60  |÷2

d=-30.

x₁+2*(-30)=20

x₁-60=20

x₁=80.

x₉=x₁+8d=

S₅=80+8*(-30)=80+(-240)=80-240=-160.

S₉=(80+(-160)*9/2=(80-160)*9/2=-80*9/2=-40*9=-360.

Ответ: S₉=-360.

5. S₃=168      S₄₊₅₊₆=21    S₅=?

{S₃=b₁+b₁q+b₁q²=168        {b₁*(1+q+q²)=168

{S₄₊₅₊₆=b₁q³+b₁q⁴+b₁q⁵     {b₁q³*(1+q+q²)=21

Разделим второе уравнение на первое:

q³=1/8=(1/2)³

q=1/2.

b₁*(1+(1/2)+(1/2)²)=168

b₁*(1+(1/2)+(1/4))=168

b₁*(1³/₄)=168

(7/4)*b₁=168

b₁=168*4/7=24*4

b₁=96.

S₅=96*(1-(1/2)⁵)/(1-(1/2))=96*(1-(1/32))/(1/2)=96*(31/32)/(1/2)=

=(96*31/32)/(1/2)=31*3/(1/2)=93*2=186.

Ответ: S₅=186.

Answer 2

Для розв'язання цих задач, спочатку треба знайти загальний вираз для членів прогресії, використовуючи надані відомості.

1. Арифметична прогресія: Загальний вираз для членів арифметичної прогресії можна записати як:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

де $a_n$ - n-й член прогресії, $a_1$ - перший член прогресії, $d$ - різниця між сусідніми членами прогресії.

За допомогою наданих умов, ми можемо скласти систему рівнянь:

$a_3 = 20 \quad \text{(1)}$ $a_5 = -40 \quad \text{(2)}$

Підставимо вираз для $a_n$ в систему:

$a_1 + 2d = 20 \quad \text{(1)}$ $a_1 + 4d = -40 \quad \text{(2)}$

Віднявши одне рівняння від іншого, отримаємо:

$2d = -60$

Поділимо обидві сторони на 2:

$d = -30$

Тепер знайдемо $a_1$ підставивши значення $d$ у одне з рівнянь:

$a_1 + 2(-30) = 20$

$a_1 - 60 = 20$

$a_1 = 20 + 60$

$a_1 = 80$

Таким чином, загальний вираз для членів арифметичної прогресії:

$a_n = 80 + (n-1)(-30)$

2. Геометрична прогресія: Загальний вираз для членів геометричної прогресії:

$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$

де $a_n$ - n-й член прогресії, $a_1$ - перший член прогресії, $r$ - співвідношення між сусідніми членами прогресії.

За допомогою наданих умов, ми можемо скласти систему рівнянь:

$a_1 + a_2 + a_3 = 168 \quad \text{(3)}$ $a_2 + a_3 + a_4 = 21 \quad \text{(4)}$

Підставимо вираз для $a_n$ в систему:

$a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 = 168 \quad \text{(3)}$ $a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + a_1 \cdot r^3 = 21 \quad \text{(4)}$

Тепер знаходиться $a_1$ і $r$. Підставимо знайдені значення в одне з рівнянь для $a_n$, наприклад, в $\text{(3)}$:

$80 + 80 \cdot (-30)^2 = 168$

$80 + 80 \cdot 900 = 168$

$80 + 72000 = 168$

$72080 = 168$

Це неправда, що означає, що є помилка у задачі або даних, які надані. Наприклад, можливо, у рівнянні була помилка у записі, або у вказаних значеннях $a_1$ і $a_5$. Прошу перевірити умову задачі та поданий матеріал ще раз для виправлення помилки.