Question

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: а) 2/3 и 5; б) 3-√3 и 3+√3​

Answer 1

Ответ:

а) 3х² - 17х + 10 = 0 ;    б) х² - 6х + 6 = 0;

Объяснение:

х² + рх + q = 0

По теореме Виета

х₁ + х₂ = -р

х₁ · х₂ = q

а) х₁ = 2/3;  х₂ = 5

х₁ + х₂ = 2/3 + 5 = 17/3  ⇒  p = -17/3

х₁ · х₂ = 2/3 · 5 = 10/3  ⇒ q = 10/3

х² - 17х/3 + 10/3 = 0

или

3х² - 17х + 10 = 0

б) х₁ = 3 - √3;  х₂ = 3 + √3;

х₁ + х₂ = 3 - √3 + 3 + √3 = 6  ⇒  p = -6

х₁ · х₂ = (3 - √3) · (3 + √3) = 9 - 3 = 6  ⇒ q = 6

х² - 6х + 6 = 0

Answer 2

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями нам необходимо использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Если у нас есть квадратное уравнение вида: ax^2 + bx + c = 0, то его корни можно найти по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Для заданных корней:

а) Корни: 2/3 и 5 Уравнение имеет вид: (x - 2/3)(x - 5) = 0 Чтобы привести его к форме ax^2 + bx + c = 0, умножим оба выражения на 3, чтобы избавиться от дробей: 3(x - 2/3)(x - 5) = 0

Раскроем скобки: 3(x^2 - 5x - 2) = 0

Таким образом, квадратное уравнение с целыми коэффициентами и заданными корнями 2/3 и 5: 3x^2 - 15x - 6 = 0

б) Корни: 3-√3 и 3+√3 Уравнение имеет вид: (x - (3-√3))(x - (3+√3)) = 0 Для удобства, обозначим √3 как a: (x - (3-a))(x - (3+a)) = 0

Раскроем скобки: (x - 3 + a)(x - 3 - a) = 0

Раскроем далее: x^2 - 3x - ax - 3x + 9 + 3a - ax + 3a - a^2 = 0

Упростим: x^2 - 6x - a^2 + 9 = 0

Таким образом, квадратное уравнение с целыми коэффициентами и заданными корнями 3-√3 и 3+√3: x^2 - 6x - 3 = 0

Пожалуйста, обратите внимание, что коэффициенты уравнений могут быть умножены на одну и ту же константу, и уравнение все равно будет иметь те же корни. Таким образом, эти уравнения не единственные возможные ответы, и существует множество других уравнений с данными корнями, отличающихся только масштабом.