Question

Возьмите интеграл от (3x+5) / (5x^2+x+7) по dx

Answer 1

Ответ:

Объяснение

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Для решения этого интеграла можно воспользоваться методом частных дробей.

Интеграл имеет вид:

∫(3x + 5) / (5x^2 + x + 7) dx

1. Найдем сначала корни знаменателя (решим уравнение 5x^2 + x + 7 = 0):

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 457 = 1 - 140 = -139

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение имеет два комплексных корня:

x1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + √(-139)) / 10 x2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - √(-139)) / 10

Таким образом, знаменатель имеет вид:

5x^2 + x + 7 = 5(x - x1)(x - x2)

2. Теперь разложим дробь на простейшие дроби:

(3x + 5) / (5x^2 + x + 7) = A / (x - x1) + B / (x - x2)

3x + 5 = A(x - x2) + B(x - x1)

Теперь найдем коэффициенты A и B:

Для x = x1:

3x1 + 5 = A(x1 - x2) + B(x1 - x1) 3x1 + 5 = A(x1 - x2)

Для x = x2:

3x2 + 5 = A(x2 - x2) + B(x2 - x1) 3x2 + 5 = B(x2 - x1)

Решим эти уравнения:

A = (3x1 + 5) / (x1 - x2) B = (3x2 + 5) / (x2 - x1)

3. Теперь можно вычислить интеграл:

∫(3x + 5) / (5x^2 + x + 7) dx = ∫(A / (x - x1) + B / (x - x2)) dx

Интеграл первого слагаемого A / (x - x1) равен A * ln| x - x1 | Интеграл второго слагаемого B / (x - x2) равен B * ln| x - x2 |

Подставим значения A и B:

∫(3x + 5) / (5x^2 + x + 7) dx = (3x1 + 5) / (x1 - x2) * ln| x - x1 | + (3x2 + 5) / (x2 - x1) * ln| x - x2 |

Таким образом, окончательное выражение для интеграла:

∫(3x + 5) / (5x^2 + x + 7) dx = [(3x1 + 5) / (x1 - x2)] * ln| x - x1 | + [(3x2 + 5) / (x2 - x1)] * ln| x - x2 | + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.