Question

Вычислите производные функции а) f(x) = 8x^3+3x^2+5 б)f(x)= x+2\2x+1 в) f(x)= x* cos4x

Answer 1

Ответ:

a) f'(x)=24x²+6x

б) f'(x)=1*(2x+1)-(x+2)*2/(2x+1)²=2x+1-2x-4/(2x+1)²=-3/(2x+1)²

в) f'(x)=1*(- 4sin4x)=-4sin4x

Объяснение:

Смотри правила дифференциирования

Answer 2

Конечно, вычислим производные данных функций.

a) $f(x) = 8x^3 + 3x^2 + 5$:

Для вычисления производной функции, нужно применить правило дифференцирования степенной функции: $d/dx [x^n] = n \cdot x^{n-1}$.

$f'(x) = \frac{d}{dx} (8x^3 + 3x^2 + 5) = 3 \cdot 8x^2 + 2 \cdot 3x = 24x^2 + 6x$.

б) $f(x) = \frac{x + 2}{2x + 1}$:

Для вычисления производной сложной функции используем правило дифференцирования частного функций: $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$u(x) = x + 2$, $v(x) = 2x + 1$.

$u'(x) = 1$, $v'(x) = 2$.

Применяем формулу:

$f'(x) = \frac{(1)(2x + 1) - (x + 2)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 2x - 4}{(2x + 1)^2} = \frac{-3}{(2x + 1)^2}$.

в) $f(x) = x \cdot \cos(4x)$:

Для вычисления производной произведения функций применяем правило производной произведения: $\frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv'$.

$u(x) = x$, $v(x) = \cos(4x)$.

$u'(x) = 1$, $v'(x) = -4 \sin(4x)$.

Применяем формулу:

$f'(x) = (1) \cdot \cos(4x) + (x) \cdot (-4 \sin(4x)) = \cos(4x) - 4x \sin(4x)$.