Question

Решите неравенство sinx*cosx>√3/4

Answer 1

Ответ:

$\frac{\pi}{12} + \pi \: n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi \: n$

n принадлежит Z

Объяснение:

$sinx \times cosx > \frac{ \sqrt{3}}{4}$

обе части неравенства умножим на 2, получим:

$2 \times sinx \times cosx > 2 \times \frac{ \sqrt{3}}{4}$

$sin(2 \times x) > \frac{ \sqrt{3} }{2}$

простейшие тригонометрическое неравенство

$\frac{\pi}{6} + 2\pi \: n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: n$

обе части двойного неравенства разделить на 2, получим:

$\frac{\pi}{12} + \pi \: n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi \: n$

n принадлежит Z

Answer 2

Давайте решим это неравенство шаг за шагом.

Начнем с того, что заметим, что sin(x) и cos(x) положительны на интервале (0, π/2) и отрицательны на интервале (π/2, π). Также учтем, что sin(π/3) = √3/2 и cos(π/6) = √3/2.

Итак, неравенство sin(x) * cos(x) > √3/4 будет выполняться на интервалах:

1. 0 < x < π/3
2. 2π/3 < x < π

Давайте рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. 0 < x < π/3: На этом интервале sin(x) и cos(x) положительны. Мы хотим, чтобы sin(x) * cos(x) было больше чем √3/4. Поскольку sin(π/3) = √3/2, нам достаточно, чтобы cos(x) было больше чем 1/2 (чтобы компенсировать √3/2 нашим sin(x)).

cos(x) > 1/2 x < π/3

2. 2π/3 < x < π: На этом интервале sin(x) и cos(x) отрицательны. Мы хотим, чтобы sin(x) * cos(x) было больше чем √3/4. Снова, нам нужно, чтобы cos(x) было больше чем 1/2 (для компенсации √3/2 от sin(x)).

cos(x) > 1/2 x > 2π/3

Итак, общее решение неравенства sin(x) * cos(x) > √3/4:

x < π/3 или x > 2π/3

Если вы хотите представить это в виде интервалов:

(0, π/3) ∪ (2π/3, π)