Question

Знайдіть суму перших 3 членів геометрич- ної прогресії (bn), якщо 1+q+q2=30/b1

Answer 1

$\{b_{n}\}:\; \; b_1\; ,\; b_2\; ,\; b_3\; ,...\\\\\\1+q+q^2=\frac{30}{b_1}\quad \to \quad b_1\cdot (1+q+q^2)=30\; \; \to \\\\\\b_1+\underbrace {b_1q}_{b_2}+\underbrace {b_1q^2}_{b_3}=b_1+b_2+b_3=30$

Answer 2

Для розв'язання цього завдання, ми спершу повинні знайти значення змінної q, а потім знайти перші три члени геометричної прогресії (b1, b2, b3) і їх суму.

Маємо рівняння:

1 + q + q^2 = 30 / b1

Спростимо його, помноживши обидві сторони на b1:

b1 + b1 * q + b1 * q^2 = 30

Ми знаємо, що в геометричній прогресії кожний наступний член дорівнює попередньому, помноженому на спільний знаменник q:

b2 = b1 * q b3 = b2 * q = b1 * q^2

Тепер ми можемо підставити ці значення в рівняння:

b1 + b1 * q + b1 * q^2 = 30 b1 + b1 * q + b1 * q * q = 30 b1 + b1 * q * (1 + q) = 30

Ми знаємо, що b1 + b2 + b3 - це сума перших трьох членів геометричної прогресії:

Сума = b1 + b1 * q + b1 * q^2

Ми можемо підставити b1 * q^2 з рівняння вище:

Сума = b1 + b1 * q + b1 * q * (1 + q)

Або в іншому вигляді:

Сума = b1 * (1 + q + q * (1 + q))

Ми знаємо, що 1 + q + q * (1 + q) = 30 / b1:

Сума = b1 * (30 / b1)

Сума = 30

Отже, сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 30.