Question

АВСD – четырехугольник, расположенный в декартовой системе координат так, что А(-2; 4), В(-8; -2), С(-1; -3) и D(5; 3). а) Докажите, что АВСD -параллелограмм; (1 балл) b) Запишите уравнения прямой АМ, где М -середина СD; (1 балл) c) Запишите уравнения прямой СD (1 балл) d) Запишите уравнение окружности с диаметром АС; (1 балл) e) Как по отношению к этой окружности расположены точка B (аналитически) (1 балл) f) Докажите АМ⊥СD, (1 балл) g) Найдите площадь четырехугольника АВСD; (1 балл)

Answer 1

Ответ:

длина АВ= √(8-2) в кв +(-3-5)в кв=10

длина СД=√(10-16)в кв+(11-3)в кв=10

длина АД=√(8-16)в кв+(-3-3)в кв=10

длина ВС=√(2-10)в кв+(5-11)в кв=10, значит АВСД-- ромб ,это параллелограмм у которого все стороны равны.

Объяснение:

Answer 2

а) Для доказательства того, что АВСD является параллелограммом, достаточно проверить, что векторы AB и CD равны. Вектор AB можно найти как разность координат точек B и A:

AB = B - A = (-8, -2) - (-2, 4) = (-6, -6).

Вектор CD можно найти как разность координат точек D и C:

CD = D - C = (5, 3) - (-1, -3) = (6, 6).

Таким образом, AB = CD, что означает, что противоположные стороны параллелограмма равны.

b) Чтобы найти уравнение прямой AM, где M - середина CD, нужно найти координаты точки M, а затем уравнение прямой, проходящей через точки A и M.

Координаты точки M можно найти как среднее арифметическое координат точек C и D:

M(x_m, y_m) = ((-1 + 5)/2, (-3 + 3)/2) = (2, 0).

Теперь, зная точки A(-2, 4) и M(2, 0), мы можем найти уравнение прямой AM, используя точку-наклонный вид уравнения прямой:

y - y1 = m(x - x1),

где m - коэффициент наклона, который можно найти как отношение изменения y к изменению x между точками A и M:

m = (0 - 4) / (2 - (-2)) = -1.

Подставляя значения, получаем уравнение прямой AM:

y - 4 = -1(x - (-2)), y - 4 = -x - 2, y = -x + 2.

c) Уравнение прямой CD можно найти, используя две известные точки C(-1, -3) и D(5, 3). Используем формулу точка-наклонный вид:

y - y1 = m(x - x1),

где m - коэффициент наклона:

m = (3 - (-3)) / (5 - (-1)) = 1.

Подставляя значения, получаем уравнение прямой CD:

y - (-3) = 1(x - (-1)), y + 3 = x + 1, y = x - 2.

d) Диаметр АС можно найти как векторную разность координат точек C и A:

AC = C - A = (-1, -3) - (-2, 4) = (1, -7).

Середина диаметра будет в точке, равной половине вектора AC, прибавленной к координатам точки A:

M_d(x_md, y_md) = A + AC/2 = (-2, 4) + (1/2, -7/2) = (-1/2, -3/2).

Теперь у нас есть координаты центра окружности и радиус равен половине длины диаметра:

r = 1/2 * √((1)^2 + (-7)^2) = √(1 + 49)/2 = √25/2 = 5/2.

Уравнение окружности с центром в (-1/2, -3/2) и радиусом 5/2:

(x + 1/2)^2 + (y + 3/2)^2 = (5/2)^2, x^2 + 2x + 1/4 + y^2 + 3y + 9/4 = 25/4, x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 25/4, x^2 + y^2 + 2x + 3y - 24/4 = 0, x^2 + y^2 + 2x + 3y - 6 = 0.

e) Для определения, как по отношению к окружности расположена точка B(-8, -2), подставим её координаты в уравнение окружности:

(-8)^2 + (-2)^2 + 2(-8) + 3(-2) - 6 = 64 + 4 - 16 - 6 - 6 = 40 - 22 = 18.

Поскольку результат положительный, точка B находится вне окружности.

f) Для доказательства перпендикулярности АМ и СD, нужно показать, что произведение их коэффициентов наклона равно -1:

Коэффициент наклона СD: m_CD = 1. Коэффициент наклона АМ: m_AM = -1/(-1) = 1.

Таким образом, m_CD * m_AM = 1 * 1 = 1, что означает, что прямые АМ и СD перпендикулярны.

g) Площадь четырехугольника АВСD можно вычислить как сумму площадей двух треугольников: АВС и СDА. Для этого используем формулу площади треугольника через координаты его вершин:

Площадь треугольника АВС = 0.5 * |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|, Площадь треугольника СDА = 0.5 * |x_C(y_D - y_A) + x_D(y_A - y_C) + x_A(y_C - y_D)|.

Подставляем координаты вершин и вычисляем:

Площадь треугольника АВС = 0.5 * |-2(-2 - (-3)) +