Question

Знайдіть первісну для функції f(x)=1/√(2x+1)-sin x/4, графік якої проходить через початок координат

Answer 1

Відповідь:

Тримай

Пояснення:

Answer 2

Для знаходження первісної функції, графік якої проходить через початок координат, ми повинні знайти таку функцію F(x), похідна якої є заданою функцією f(x).

Спершу, знайдемо похідну f(x):

f(x) = 1/√(2x+1) - sin(x)/4.

Для зручності розрахунків, розподілимо це на дві окремі частини:

f₁(x) = 1/√(2x+1),

f₂(x) = -sin(x)/4.

Знайдемо похідні цих частин:

f₁'(x) = -1/2(2x+1)^(-3/2),

f₂'(x) = -cos(x)/4.

Тепер складемо нову функцію F(x), яка є первісною для f(x), і врахуємо, що графік має проходити через початок координат (F(0) = 0):

F(x) = ∫[0, x] f(t) dt.

F(x) = ∫[0, x] (1/√(2t+1) - sin(t)/4) dt.

F(x) = ∫[0, x] (1/√(2t+1)) dt - ∫[0, x] (sin(t)/4) dt.

Давайте розрахуємо кожну з цих інтегралів:

∫[0, x] (1/√(2t+1)) dt = ∫[0, x] (2t+1)^(-1/2) dt.

Цей інтеграл можна обчислити, використовуючи підстановку змінної. Позначимо u = 2t+1, тоді du/dt = 2, а dt = du/2. Змінні межі інтегрування також зміняться:

∫[0, x] (2t+1)^(-1/2) dt = ∫[1, 2x+1] u^(-1/2) * (1/2) du.

Тепер обчислимо цей інтеграл:

∫[1, 2x+1] u^(-1/2) * (1/2) du = (1/2) * [u^(1/2)] |[1, 2x+1] = (1/2) * (sqrt(2x+1) - 1).

Тепер розрахуємо другий інтеграл:

∫[0, x] (sin(t)/4) dt = (-1/4) * [cos(t)] |[0, x] = (-1/4) * (cos(x) - 1).

Тепер складемо F(x) враховуючи обидва інтеграли:

F(x) = (1/2) * (sqrt(2x+1) - 1) - (-1/4) * (cos(x) - 1).

F(x) = (1/2) * sqrt(2x+1) + (1/4) * (cos(x) - 1) - 1/4.

Ця функція F(x) є первісною для заданої функції f(x) і проходить через початок координат (F(0) = 0).