Question

ЗАДАЧА 1 Різниця двох натуральних чисел дорівнює 5, а сума взаємно обернених з ними чисел дорівнює ⅙. Знайдіть ці числа.ЗАДАЧА 2Річковий катер перевозить пасажирів між пристанями А та В, відстань між якими дорівнює 20 км. Прибувши з А в В, катер робить 25-хвилинну зупинку для висадки і посадки пасажирів і повертається в А. На всю поїздку катер витрачає 2,5 год. Власна швидкість катера дорівнює 20 км/год. Знайдіть швидкість течії річки.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

ЗАДАЧА 1: Позначимо два натуральних числа, про які йдеться в задачі, як $x$ і $y$. За умовою маємо два рівняння:

1. $x - y = 5$
2. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Спростимо друге рівняння, помноживши обидві його сторони на $6xy$, щоб позбутися від знаменників:

$6y + 6x = xy$

Враховуючи перше рівняння ($x - y = 5$), підставимо $x = y + 5$ у вищенаведене рівняння:

$6y + 6(y + 5) = y(y + 5)$

Розкриємо дужки та спростимо:

$12y + 30 = y^2 + 5y$ $y^2 - 7y - 30 = 0$

Знайдемо корені цього квадратного рівняння:

$y^2 - 10y + 3y - 30 = 0$ $y(y - 10) + 3(y - 10) = 0$ $(y - 10)(y + 3) = 0$

Отримали два можливі значення для $y$: $y = 10$ або $y = -3$. Оскільки задача стосується натуральних чисел, то $y$ не може бути від'ємним, тому $y = 10$. Підставимо значення $y = 10$ у перше рівняння ($x - y = 5$):

$x - 10 = 5$ $x = 15$

Отже, шукані числа: $x = 15$ і $y = 10$.

ЗАДАЧА 2: Позначимо швидкість течії річки як $v_c$. Враховуючи, що швидкість катера $v_k = 20$ км/год, маємо:

Час вдруге відстань між А та В: $\frac{20}{20 + v_c} + \frac{20}{20 - v_c}$ годин.

Час зупинки на обох пристанях: $\frac{25}{60}$ години.

Таким чином, загальний час поїздки катера складає $2.5$ години:

$\frac{20}{20 + v_c} + \frac{20}{20 - v_c} + \frac{25}{60} = 2.5$

Розв'яжемо це рівняння відносно $v_c$. Спочатку позбавимось від дробів, помноживши обидві сторони на $20 + v_c$(20 - v_c):

$20(20 - v_c) + 20(20 + v_c) + \frac{25}{60}(20 + v_c)(20 - v_c) = 2.5(20 + v_c)(20 - v_c)$

Після спрощення і зведення подібних доданків маємо:

$400 - 20v_c + 400 + 20v_c + \frac{25}{60}(400 - v_c^2) = 2.5(400 - v_c^2)$

Далі можна спростити це рівняння та розв'язати відносно $v_c^2$. Після знаходження $v_c^2$