Question

1. Материальная точка движется по закону x(t)=-t^3+3t^2+9t. Через сколько секунд после начала движения точка остановится? 2. Материальная точка движется согласно закону s(t)=t^4 (км). Чему будет равна ее скорость когда пройденный путь будет равен 16 км? (Время измеряется в часах)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x(t)=-t³+3t²+9t

x'(t)=-3t²+6t+9

-3t^2+6t+9=0  (:-3)

t^2-2t-3=0

D=(-2)^2-4·1·(-3)=4+12=16.  √16=4

t=(2±4)/2=1±2

t1=1-2=-1<0 - не подходит по смыслу задания

t2=1+2=3

Ответ: через 3  секунд

2) t^4 =16

t= 2

V(t) = S'(t) = 4t^3

V( 2) = 4 * 8 = 32(kм/ч)

Answer 2

1. Условие, когда материальная точка остановится, это когда её скорость станет равной нулю. Что такое скорость материальной точки? Это производная координаты по времени или на языке математики:

$\displaystyle v = \lim_{\Delta x\to0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} =x'_t$

В нашем случае вычислим производную и приравняем её к нулю.

$v = x'_t=(-t^3+3t^2+9t)'=-3t^2+6t+9=0 |:(-3) \Rightarrow \\ \Rightarrow t^2-2t+3=0;$

$\displaystyle \left \{ {{t_1+t_2=2} \atop {t_1\cdot t_2=-3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{t_1=-1} \atop {t_2=3}} \right.$

Но отрицательного времени не бывает, смотрим только положительное значение, это $t=3$

Ответ: через 3 секунды.

2. Формула пути у нас есть, найдем из неё время, когда этот путь равен 16 км.

$s = t^4 = 16 \Rightarrow t=\pm2$, но время неотрицательно, поэтому $t=2$ (часа)

$v = s'_t=(t^4)'=4t^3\Rightarrow v(2)=4\cdot 2^3=4\cdot 8 =32$ (км/ч)

Ответ: скорость будет равна 32 км/ч

Answer 3

1. Для определения времени, через которое материальная точка остановится, нужно найти момент времени, когда скорость точки станет равной нулю. Скорость можно найти, взяв производную от функции положения x(t) по времени t и приравняв ее к нулю:

x(t) = -t^3 + 3t^2 + 9t

Сначала найдем производную:

v(t) = x'(t) = -3t^2 + 6t + 9

Теперь приравняем скорость к нулю и решим уравнение:

-3t^2 + 6t + 9 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно поделить обе стороны на -3:

t^2 - 2t - 3 = 0

Теперь факторизуем уравнение:

(t - 3)(t + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения t: t = 3 и t = -1. Так как время не может быть отрицательным, то решением будет t = 3.

Таким образом, материальная точка остановится через 3 секунды после начала движения.

2. Для определения скорости материальной точки в определенный момент времени, нужно найти производную функции положения s(t) по времени t и подставить значение времени, при котором пройденный путь равен 16 км:

s(t) = t^4

Находим производную:

v(t) = s'(t) = 4t^3

Теперь подставим t = ?, такое что s(t) = 16 км:

t^4 = 16

Решаем уравнение:

t^4 = 2^4

t = 2

Таким образом, когда пройденный путь будет равен 16 км, скорость материальной точки будет равна:

v(t) = 4t^3 = 4 * 2^3 = 32 км/ч.