Question

1)Тело движется по закону: S(t) = t^2– 7t + 4(м) Найдите скорость тела через 2с после начала движения. 2)Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: y = 2x^3+ 3x^2– 12x – 1 на отрезке [-1;2] 3)Тело движется по закону: S(t) = 4 + 3t – 0,5t^2(м) Через сколько секунд после начала движения тело остановится. 4)Найдите промежутки возрастания и убывания функции:f(x) = x^3+3x^2– 9x

Answer 1

$></p> <p><img src=$

Answer 2

1. Для нахождения скорости тела через 2 секунды после начала движения нам нужно найти производную функции пути S(t) по времени t и подставить t = 2.

Дано: S(t) = t^2 - 7t + 4

Производная: S'(t) = 2t - 7

Теперь подставим t = 2:

S'(2) = 2 * 2 - 7 = -3 (м/с)

Таким образом, скорость тела через 2 секунды после начала движения составляет -3 м/с.

2. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1 на отрезке [-1;2] нам нужно найти критические точки и значения на концах интервала.

Производная: y'(x) = 6x^2 + 6x - 12

Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

6x^2 + 6x - 12 = 0 x^2 + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0

Критические точки: x = -2, x = 1

Теперь найдем значения функции на концах интервала:

y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) - 1 = -6 + 3 + 12 - 1 = 8 y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3

Из вычислений видно, что наибольшее значение функции на интервале [-1;2] равно 8 (достигается при x = -1), а наименьшее значение равно 3 (достигается при x = 2).

3. Для определения времени, через которое тело остановится, нам нужно найти момент времени, когда скорость станет равной нулю. Это произойдет, когда производная функции пути S(t) будет равна нулю:

Дано: S(t) = 4 + 3t - 0.5t^2

Производная: S'(t) = 3 - t

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

3 - t = 0 t = 3

Таким образом, тело остановится через 3 секунды после начала движения.

4. Для определения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x, нужно анализировать знак производной функции.

Производная: f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3)

Находим критические точки:

x^2 + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0

Критические точки: x = -3, x = 1

Теперь анализируем знак производной в интервалах:

• Берем тестовую точку x = -4 (между -∞ и -3): f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 (положительное)
• Берем тестовую точку x = 0 (между -3 и 1): f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 (отрицательное)
• Берем тестовую точку x = 2 (между 1 и ∞): f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 (положительное)

Итак, производная положительна на интервалах (-∞, -3) и (1, ∞), а отрицательна на интервале (-3, 1). Это означает, что функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, -3) и (1, ∞), и убывает на интервале (-3, 1).