Question

1. Знайти середнє арифметичне найменшого та найбільшого натуральних розв'язків нерівності: 1) (x -5)² - x² ≥ 6х-7; 2) (x -9)(x+9)< x²-9x +19.

Answer 1

Давайте розглянемо обидві нерівності по черзі та знайдемо їх розв'язки.

1. Розв'язання першої нерівності: \((x - 5)^2 - x^2 \geq 6x - 7\)

Розкриємо квадрат та спростимо:

\((x^2 - 10x + 25) - x^2 \geq 6x - 7\)

Відкинемо \(x^2\) з обох боків:

\(-10x + 25 \geq 6x - 7\)

Тепер додамо \(10x\) до обох боків та віднімемо 25:

\[10x + 6x \leq 25 - 7\]

\[16x \leq 18\]

\[x \leq \frac{18}{16} \]

\[x \leq \frac{9}{8}\]

2. Розв'язання другої нерівності: \((x - 9)(x + 9) < x^2 - 9x + 19\)

Розкриємо добуток та спростимо:

\[x^2 - 81 < x^2 - 9x + 19\]

Віднімемо \(x^2\) з обох боків та додамо 9x:

\[-81 < 19 - 9x\]

Додамо 81 до обох боків:

\[0 < 100 - 9x\]

Віднімемо 100 від обох боків:

\[-100 < -9x\]

Поділимо обидві сторони на -9 (перейдемо від від'ємного до додатнього знаку, звертаючи увагу на обидві сторони нерівності):

\[x > \frac{100}{9}\]

Тепер знайдемо середнє арифметичне найменшого та найбільшого розв'язків.

Середнє арифметичне двох чисел \(a\) та \(b\) обчислюється за формулою:

\[\frac{a + b}{2}\]

У нашому випадку, найменший розв'язок - \(\frac{100}{9}\), а найбільший розв'язок - \(\frac{9}{8}\). Тепер знайдемо середнє арифметичне:

\[\frac{\frac{100}{9} + \frac{9}{8}}{2}\]

Обчислімо чисельник та знаменник:

\[= \frac{\frac{800 + 81}{72}}{2}\]

\[= \frac{\frac{881}{72}}{2}\]

\[= \frac{881}{144}\]

Отже, середнє арифметичне найменшого та найбільшого розв'язків нерівностей дорівнює \(\frac{881}{144}\).