Question

Найти все первообразные функции f(x)=2sin^4x ​

Answer 1

$f(x)=2sin^4x\\\\F(x)=\int 2\, sin^4x\, dx=\int 2\cdot (sin^2x)^2\. dx=\int 2\cdot \Big(\dfrac{1-cos2x}{2}\Big)^2\, dx=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\int (1-2cos2x+cos^22x)\, dx=\dfrac{1}{2}\int \Big(1-2cos2x+\dfrac{1+cos4x}{2}\Big)\, dx=\\\\\\= \frac{1}{2}\Big(x-sin2x+\dfrac{1}{2}\, x+\dfrac{1}{8}\, sin4x\Big)+C$

Answer 2

Чтобы найти все первообразные функции для $f(x) = 2\sin^4(x)$, мы должны произвести процесс интегрирования. В данном случае, вам понадобится использовать тригонометрические идентичности для упрощения интеграла. Давайте начнем:

Интеграл: $\int 2\sin^4(x) \, dx$

Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$\int 2\sin^4(x) \, dx = \int 2\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 \, dx$

$= \int \left(1 - \cos(2x)\right)^2 \, dx$

Раскроем квадрат и упростим:

$= \int \left(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)\right) \, dx$

$= \int \left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) \, dx$

$= \int \left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) \, dx$

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

$= \frac{3}{2}x - \int 2\cos(2x) \, dx + \frac{1}{2}\int \cos(4x) \, dx$

Интеграл $\int 2\cos(2x) \, dx$ легко берется:

$= \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{2}\int \cos(4x) \, dx$

Для интеграла $\int \cos(4x) \, dx$ мы можем сделать замену переменной $u = 4x$, $du = 4 dx$:

$= \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\int \cos(u) \, du$

$= \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\sin(u) + C$

$= \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$

Где $C$ - постоянная интегрирования.

Итак, одной из первообразных функций для $f(x) = 2\sin^4(x)$ является:

$F(x) = \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\sin(4x) + C$

где $C$ - произвольная постоянная.