Question

Вычислить интеграл: ∫ (x+1)e⁻²ˣ dx

Answer 1

£ - интеграл

£udv = uv - £vdu

1)u = x+1

du = dx

2)dv = e^(-2x)dx

v = -0.5e^(-2x)

3)£(x+1)e^(-2x) = -0.5(x+1)e^(-2x)+0.5£e^(-2x)dx = -0.5(x+1)e^(-2x)-0.25e^(-2x) + C

Answer 2

Для вычисления данного интеграла ∫ (x+1)e⁻²ˣ dx можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Выберем u = x + 1 и dv = e^(-2x) dx, затем найдем соответствующие дифференциалы du и v:

du = dx, v = ∫ e^(-2x) dx = -0.5 * e^(-2x).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫ (x+1)e^(-2x) dx = uv - ∫ v du = (x + 1)(-0.5 * e^(-2x)) - ∫ (-0.5 * e^(-2x)) dx = -0.5(x + 1)e^(-2x) + 0.25∫ e^(-2x) dx = -0.5(x + 1)e^(-2x) - 0.125 * e^(-2x) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫ (x+1)e^(-2x) dx равен:

-0.5(x + 1)e^(-2x) - 0.125 * e^(-2x) + C.