Question

Найти множество значений функции y=sinx+3 и y=cos²x-sin²x+2

Answer 1

Воспользуемся тем, что функции синуса и косинус принимают значения из отрезка от -1 до 1.

1)

$y= \sin x+3$

$-1\leq \sin x\leq 1$

$-1+3\leq \sin x+3\leq 1+3$

$2\leq \sin x+3\leq 4$

$E(y)=[2;\ 4]$

2)

$y= \cos^2x-\sin^2x+2$

$y= \cos2x+2$

$-1\leq \cos2x\leq 1$

$-1+2\leq \cos2x+2\leq 1+2$

$1\leq \cos2x+2\leq 3$

$1\leq\cos^2x-\sin^2x+2\leq 3$

$E(y)=[1;\ 3]$

Answer 2

Для нахождения множества значений данных функций, мы можем преобразовать их исходные выражения.

1. Функция y = sin(x) + 3: Значение sin(x) лежит в диапазоне [-1, 1]. Прибавление 3 к этому диапазону дает нам [-1 + 3, 1 + 3], то есть [2, 4]. Таким образом, множество значений функции y = sin(x) + 3 - это [2, 4].

2. Функция y = cos²(x) - sin²(x) + 2: Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать выражение. Воспользуемся тождеством cos²(x) - sin²(x) = cos(2x) и заменим его в исходном выражении: y = cos(2x) + 2. Значение cos(2x) лежит в диапазоне [-1, 1]. Прибавление 2 к этому диапазону дает нам [-1 + 2, 1 + 2], то есть [1, 3]. Таким образом, множество значений функции y = cos²(x) - sin²(x) + 2 - это [1, 3].

Итак, множество значений для первой функции y = sin(x) + 3 - это [2, 4], а множество значений для второй функции y = cos²(x) - sin²(x) + 2 - это [1, 3].