Question

Розв'язати систему рівнянь трьома способами y-x=1,2y+x=-4

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Метод противоположного фактора

{y-x=1    // *(-2)

{2y+x=-4

     {-2y+2x=-2

(+){2y+x=-4

-----------------.

             3x=-6

               X=-2  podstawiam do (1)równania y-x=1

Y-(-2)=1

Y+2=1

Y=1-2

Y=-1

OTBET : ( -2;-1)

-------------------------.

Метод сложения

     {y-x=1

(+){2y+x=-4

---------------.

      3y=-3

        Y=-1    podstawiam do (1) równania  y-x=1

-1-x=1

-x=1+1

X=-2

OTBET:  (-2;-1)

--------------------------.

Метод замещения

{y-x=1

{2y+x=-4

{y=x+1

{2(x+1)+x=-4

{y=x+1

{2x+2+x=-4

{y=x+1

{3x=-6

{y=x+1

{x=-2

Y=-1

{x=-2

OTBET : (-2;-1)

Другой путь

:

y-x=1 == >  y=x+1

2y+x=-4 == >  2y=-x-4 == > y=-1/2 x-2

X+1=-1/2 x-2  // * 2

2x+2=-x-4

3x=-6

 X=-2                            podstawiam do równania y-x=1

y-(-2)=1

y+2=1

y=1-2

y=-1

OTBET: (-2;-1)

Answer 2

Давайте розв'яжемо дану систему рівнянь трьома різними способами: методом підстановки, методом елімінації та методом матриць.

Система рівнянь:

1. $y - x = 1$
2. $2y + x = -4$

Метод підстановки:

З першого рівняння маємо $y = x + 1$. Підставимо це значення у друге рівняння:

$2(x + 1) + x = -4$

Розв'яжемо рівняння для $x$:

$2x + 2 + x = -4$

$3x + 2 = -4$

$3x = -6$

$x = -2$

Підставимо знайдене значення $x$ у перше рівняння:

$y = -2 + 1$

$y = -1$

Отже, розв'язок за методом підстановки: $x = -2$ і $y = -1$.

Метод елімінації:

Додамо перше рівняння помножене на 2 до другого рівняння:

$2(y - x) + (2y + x) = 2(1) + (-4)$

$2y - 2x + 2y + x = 2 - 4$

$4y - x = -2$

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно $y$:

$4y = x - 2$

$y = \frac{x - 2}{4}$

Підставимо знайдене значення $y$ у перше рівняння:

$\frac{x - 2}{4} - x = 1$

Розв'яжемо рівняння для $x$:

$\frac{x - 2 - 4x}{4} = 1$

$-\frac{3x - 2}{4} = 1$

$-3x + 2 = 4$

$-3x = 2$

$x = -\frac{2}{3}$

Підставимо знайдене значення $x$ у вираз для $y$:

$y = \frac{-\frac{2}{3} - 2}{4}$

$y = \frac{-\frac{8}{3}}{4}$

$y = -\frac{2}{3}$

Отже, розв'язок за методом елімінації: $x = -\frac{2}{3}$ і $y = -\frac{2}{3}$.

Метод матриць:

Складемо матрицю коефіцієнтів системи рівнянь:

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$

Складемо стовпчик вільних членів:

$$\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}$$

Застосуємо метод оберненої матриці для знаходження розв'язку:

1. Знайдемо обернену матрицю до матриці коефіцієнтів.

$$\text{Матриця коефіцієнтів: } \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$

Її обернена матриця виглядає так:

$$\text{Обернена матриця: } \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$$

2. Помножимо обернену матрицю на стовпчик вільних членів:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -9 \end{bmatrix}$$

3. Знайдемо розв'язок, використовуючи знайдений стовпчик:

$x = -3$

$y = -9$

Отже, розв'язок за методом матриць: $x = -3$ і $y = -9$