Question

Докажите, что многочлен х³-4х-3 не делится нацело на многочлен х+2

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$x^3-4x-3=x^3-x-3x-3=x(x^2-1)-3(x+1)=x(x+1)(x-1)-3(x+1)=(x+1)(x^2-x-3)=(x+1)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right)$

Среди полученных множителей нет x+2, а значит многочлен на него не делится.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен $x^3 - 4x - 3$ не делится нацело на многочлен $x + 2$, можно воспользоваться теоремой остатков. Согласно этой теореме, если многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x)$ нацело, то остаток от деления $P(x)$ на $Q(x)$ равен нулю.

Поделим многочлен $x^3 - 4x - 3$ на $x + 2$ с помощью синтетического деления:

scssCopy code
      x^2 - 2x + 8
_____________________
x + 2 | x^3 + 0x^2 - 4x - 3
      - (x^3 + 2x^2)
      ________________
                - 2x^2 - 4x
                - (2x^2 + 4x)
                ________________
                             - 7x - 3

Таким образом, остаток от деления многочлена $x^3 - 4x - 3$ на $x + 2$ равен $-7x - 3$, который не равен нулю при любом значении $x$. Следовательно, многочлен $x^3 - 4x - 3$ не делится нацело на $x + 2$, что и требовалось доказать.