Question

Разложите на множители: Р(х) = x3 – 3x - 2

Answer 1

Р(х)= х³ - 3х - 2.

х³ - 3х - 2= х³ - 4х + х - 2= х(х²-4)+(х-2)=

х(х-2)(х+2)+(х-2)=(х-2)(х(х+2)+1)= (х-2)(х²+2х+1)=(х-2)(х+1)².

Р(х)= (х-2)(х+1)².

Answer 2

Для того чтобы разложить многочлен на множители, нужно найти его корни. Это можно сделать, решив уравнение многочлена равное нулю: $x^3 - 3x - 2 = 0$. К сожалению, общая формула для нахождения корней кубического уравнения с коэффициентами может быть достаточно сложной, и в некоторых случаях корни могут быть выражены только численно.

Давайте попробуем найти один рациональный корень уравнения с помощью подбора. Если мы находим один корень, это позволит нам делить исходный многочлен на бином $x - \text{корень}$, чтобы получить квадратное уравнение, которое будет проще решить.

Пробуем подставить $x = 1$: $1^3 - 3 \cdot 1 - 2 = -4$

Пробуем подставить $x = -1$: $-1^3 - 3 \cdot -1 - 2 = 0$

Мы нашли, что $x = -1$ является корнем многочлена $x^3 - 3x - 2$. Теперь мы можем разделить многочлен на $x + 1$ чтобы получить оставшийся квадратный многочлен:

$\frac{x^3 - 3x - 2}{x + 1} = x^2 - x - 2.$

Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0.$

Это уравнение можно разложить на множители:

$(x - 2)(x + 1) = 0.$

Таким образом, мы получили множители исходного многочлена:

$x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x - 2)(x + 1).$

Теперь у нас есть разложение многочлена $x^3 - 3x - 2$ на множители.